21、量子熵、源编码与二分纠缠

量子熵、源编码与二分纠缠

1. 量子熵与源编码

1.1 量子随机访问码证明

设 $p \in P(\Sigma)$ 为均匀分布，定义一个系综 $\eta: \Sigma^n \to Pos(Y)$ 为：
[
\eta(a_1 \cdots a_n) = p(a_1) \cdots p(a_n)\rho_{a_1\cdots a_n} = \frac{1}{2^n} \rho_{a_1\cdots a_n}
]
对于每个字符串 $a_1 \cdots a_n \in \Sigma^n$。设 $(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)$ 是表示由集合 ${\rho_{a_1\cdots a_n}: a_1 \cdots a_n \in \Sigma^n}$ 和测量 $\mu_1, \cdots, \mu_n$ 为分布 $p$ 定义的量子随机访问码所揭示的信息量的向量。通过结合引理 5.54 以及 $H(\alpha, 1 - \alpha)$ 是区间 $[1/2, 1]$ 上 $\alpha$ 的递减函数这一事实，可以得到：
[
\alpha_k \geq 1 - H(\lambda, 1 - \lambda)
]
对于每个 $k \in {1, \cdots, n}$。因此，根据定理 5.53，有：
[
\chi(\eta) \geq (1 - H(\lambda, 1 - \lambda))n
]
由于 $\eta$ 的 Holevo 信息上限为 $\log(\dim(Y))$，证明完成。对于所考虑的特殊类型的随机访问码，编码长度为 $n$ 的二进制字符串所需的