41、用于容量弧路由问题的分支切割定价算法

用于容量弧路由问题的分支切割定价算法

1. 问题的不同表述方式

1.1 双索引表述

对于容量弧路由问题（CARP），最直观的表述是为每个所需边和每辆车创建一个二进制变量 (x_{e}^{k})，为每个空驶边和每辆车创建一个整数变量 (z_{e}^{k})，并将它们用于流量约束。其数学模型如下：
- 目标函数 ：
[
\min \sum_{p \in I} \left( \sum_{e \in E_{R}} c_{e}x_{e}^{p} + \sum_{e \in E} c_{e}z_{e}^{p} \right)
]
- 约束条件 ：
- (\sum_{p \in I} x_{e}^{p} = 1, \forall e \in E_{R})：确保所有所需边都被服务。
- (\sum_{e \in E_{R}} d_{e}x_{e}^{p} \leq Q, \forall p \in I)：限制每辆车服务的总需求不超过容量 (Q)。
- (\sum_{e \in \delta_{R}(S)} x_{e}^{p} + \sum_{e \in \delta(S)} z_{e}^{p} \geq 2x_{f}^{p}, \forall S \subseteq V \setminus {0}, f \in E_{R}(S), p \in I)：确保每条路线是连通的。
- (\sum_{e \in \delta_{R}(S)} x_{e}^{p} + \sum_{e \in \delta(S)} z_{e}^{p} \equiv 0 \mod