11、具有指数渐近解的分数阶偏微分方程及生物系统中分形元素的检测

具有指数渐近解的分数阶偏微分方程及生物系统中分形元素的检测

在数学和生物物理领域，研究特定类型的方程解的渐近行为以及生物系统中的物理特性是非常重要的。本文将探讨哪些分数阶偏微分方程具有指数渐近解，以及如何在生物系统中检测分形元素。

分数阶偏微分方程的指数渐近解

在传统认知中，整数阶导数或分数阶Caputo导数的Cauchy问题的解通常呈现代数渐近行为，而Caputo - Hadamard分数阶导数的Cauchy问题的解则具有对数渐近行为。那么，是否存在一种分数阶导数，使得相应的Cauchy问题具有指数渐近解呢？答案是肯定的。

指数核分数阶积分与导数的定义

• 左、右分数阶积分 ：
  • 设给定函数$f(t) \in L^1(a, b) (-\infty \leq a < b \leq \infty)$，则左、右分数阶积分分别定义为：
  • 左分数阶积分：$eD_{a,t}^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{a}^{t} (e^t - e^{\tau})^{\alpha - 1} f(\tau) e^{\tau} d\tau, t > a$
  • 右分数阶积分：$eD_{t,b}^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{t}^{b} (e^{\tau} - e^t)^{\alpha - 1} f(\tau) e^{\tau} d\tau, t < b$