11、具有指数渐近解的分数阶偏微分方程及生物系统分形元素检测

具有指数渐近解的分数阶偏微分方程及生物系统分形元素检测

在数学和生物物理领域，分数阶偏微分方程的解的渐近行为以及生物系统中的分形元素检测是两个重要的研究方向。本文将分别探讨这两个方面的研究成果。

具有指数渐近解的分数阶偏微分方程

在传统认知中，整数阶导数或分数阶Caputo导数的Cauchy问题的解通常具有代数渐近行为，而Caputo - Hadamard分数阶导数的Cauchy问题的解具有对数渐近行为。那么，是否存在一种分数阶导数，使得相应的Cauchy问题具有指数渐近解呢？答案是肯定的。

相关定义

• 指数核分数阶积分 ：
• 左分数阶积分：若给定函数$f(t) \in L^1(a, b) (-\infty \leq a < b \leq \infty)$，则左分数阶积分定义为$eD_{a,t}^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{a}^{t} (e^t - e^{\tau})^{\alpha - 1} f(\tau) e^{\tau} d\tau, t > a$。
• 右分数阶积分：右分数阶积分定义为$eD_{t,b}^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{t}^{b} (e^{\tau} - e^t)^{\alpha - 1} f(\tau) e^{\tau} d\tau, t < b$。
• 指数核Riemann - Liouville型分数阶导数 ：设$n - 1 < \a