3、平面软体机械臂的最优可达性与抓取研究

平面软体机械臂的最优可达性与抓取研究

1. 引言

在最优控制理论的框架下，我们探讨平面软体机械臂的可达性和抓取问题。所研究的机械臂是具有轴向对称性、非均匀厚度且一端固定的三维物体。它具有抗弯曲的结构特性，即弯曲力矩，其软体材料仅在固定阈值以下允许弹性变形，这通过弯曲约束来建模。此外，弯曲可以通过点弯曲控制来实现，这是一种代表系统控制项的内部角力。同时，我们假设机械臂具有不可伸展性，即其结构不允许纵向拉伸。

基于轴向对称性这一关键形态假设，我们将研究限制在机械臂对称轴的演化上，将其建模为平面曲线 (q(s, t) : [0, 1] × [0, T] → R^2)，其中 (s) 是弧长坐标，(T > 0) 是最终时间。从物理角度看，(q) 被建模为不可伸展的梁，其质量代表整个机械臂的质量。该曲线的演化由合适的反作用力和摩擦力决定，这些力包含在一个非线性、四阶的演化控制偏微分方程（PDE）系统中，这是对欧拉 - 伯努利梁方程的推广。

我们所解决的最优控制问题被表述为对适当成本泛函的约束最小化问题，其中涉及对控制的二次成本。对于可达性问题，成本泛函如式 (7) 和 (10) 所示；对于抓取问题，如式 (14) 所示。

2. 平面机械臂的控制模型

2.1 从离散超冗余到软体机械臂

超冗余机械臂具有非常多（可能是无限）的可驱动自由度。在软体机器人领域研究超冗余机械臂，是因为它们可以被视为连续机器人的离散化。我们考虑一个由 (N) 个连杆和 (N + 1) 个关节组成的装置，其在平面上的位置由数组 ((q_0, \ldots, q_N)) 给出。我们用 (m_k) 表示第 (k) 个关节的质量（(k = 0, \ldots, N)），并