4、软机械臂的最优可达性与抓取及局部观测器设计

软机械臂的最优可达性与抓取及局部观测器设计

软机械臂的最优可达性与抓取

在软机械臂的研究中，涉及到最优可达性和最优抓取两个重要方面。

动态最优可达性

给定 $q^ \in R^2$ 以及 $T, \tau > 0$，我们要寻找一个时变的最优控制 $u^ : [0, 1] \times [0, T] \to [-1, 1]$，使以下泛函最小化：
[
J (q, u) = \frac{1}{2\tau} \int_{0}^{T} |q(1, t) - q^*|^2 dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \int_{0}^{1} u^2 ds dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \rho(s)|q_t(s, T)|^2 ds
]
该泛函的约束条件是软机械臂的动力学方程。其中，代表末端与目标距离的项和控制的二次成本项在系统的整个演化过程中被最小化，泛函的第三项用于保证稳定性，代表机械臂在最终时刻的动能。

我们的方法基于一阶最优性条件的研究，即求解所谓的最优性系统。未知量是 $J$ 的驻点 $(q, \sigma, u)$（受动力学方程约束）以及相关的乘子 $(\bar{q}, \bar{\sigma})$，它们被称为伴随状态。大致来说，如果控制 $u^ $ 是最优的，那么最优性系统存在形如 $(q, \sigma, u^ , \bar{q}, \bar{\sigma})$ 的解。最优性系统由两个偏微分方程（描述伴随状态的演化）、运动方程和一个关于控制的变分不等式组成。

伴随状态方程如下：
[