1.4 逆元

1.4 逆元定义，$O(logn)$求单个及线性求$n$个

基本定义

若$a\ast x\equiv 1(modb)$，则称$x$为$a$的逆元，记为$a^{-1}$。

根据逆元的定义，可转化为$a\ast x+b\ast y=1$，用EXGCD算法求解逆元。代码如下：

typedef long long ll;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll ret = exgcd(b, a % b, x, y);
    ll tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
    return ret;
}

ll inv(ll a, ll mod) {
    ll d, x, y;
    d = exgcd(a, mod, x, y);
    return d == 1 ? (x + mod) % mod : -1;
}

只要你掌握了EXGCD的原理都能看懂。该算法时间复杂度应该是$O(logn)$以下级别的。

当然如果我们要求n个数的逆元，用普通的逐个求得算法去处理得时间复杂度是$O(nlogn)$=。

所以我们引入逆元的线性处理算法。

首先$1^{-1}\equiv 1(modp)$

然后我们设$p=k\ast i+r,r<i,1<i<p$，再将这个式子放到mod $p$意义下就有：

$k\ast i+r\equiv 0(modp)$

边同时乘上$i^{-1},r^{-1}$，则有：

$k\ast r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(modp)$

​ $i^{-1}\equiv -k\ast r^{-1}(modp)$

​ $i^{-1}\equiv -[\frac{p}{i}]\ast (pmodi{)}^{-1}(modp)$

于是，就可以从前面推出当前的逆元，核心代码就一行：

A[i] = -(p / i) * A[p % i];

完整代码如下（求1-n，关于p的逆元）：

#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e8 + 10;

ll inv[maxn];

void pre(int p) {
    inv[0] = inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; i++)
        inv[i] = ((p - p / i) * inv[p % i]) % p;
}

int main() {
    int n, p;
    cin >> n >> p;
    pre(p);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%d\n", inv[i]);
    return 0;
}  

即可在线性时间$O(n)$复杂度内求出前n个数的逆元。

文章最后再给初学者说一下为什么要用逆元。个人理解是如果一个数的分母很大，会炸精度，所以在竞赛中为了方便要用逆元。（当然也可能是数论中约定俗称的规定，错了还望指正）