1.4 逆元

最新推荐文章于 2021-10-24 11:15:40 发布

avgstuBoboge

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分类专栏：《OI数学一本通》学习笔记

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1.4 逆元定义， $O (l o g n)$ 求单个及线性求 $n$ 个

基本定义

若 $b)a*x\equiv1(mod\ b)$ ，则称 $x$ 为 $a$ 的逆元，记为 $a^{-1}$ 。

根据逆元的定义，可转化为 $a * x + b * y = 1$ ，用EXGCD算法求解逆元。代码如下：

typedef long long ll;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll ret = exgcd(b, a % b, x, y);
    ll tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
    return ret;
}

ll inv(ll a, ll mod) {
    ll d, x, y;
    d = exgcd(a, mod, x, y);
    return d == 1 ? (x + mod) % mod : -1;
}

只要你掌握了EXGCD的原理都能看懂。该算法时间复杂度应该是 $O (l o g n)$ 以下级别的。

当然如果我们要求n个数的逆元，用普通的逐个求得算法去处理得时间复杂度是 $O (n l o g n)$ =。

所以我们引入逆元的线性处理算法。

首先 $p)1^{-1}\equiv1(mod\ p)$

然后我们设 $p = k * i + r, r < i, 1 < i < p$ ，再将这个式子放到mod $p$ 意义下就有：

$\equiv 0(mod\ p)$

边同时乘上 $i^{-1},r^{-1}$ ，则有：

$p)k*r^{-1}+i^{-1}\equiv0(mod\ p)$

$p)i^{-1}\equiv-k*r^{-1}(mod\ p)$

$p)i^{-1}\equiv-[\frac{p}{i}]*(p\ mod\ i)^{-1}(mod\ p)$

于是，就可以从前面推出当前的逆元，核心代码就一行：

A[i] = -(p / i) * A[p % i];

完整代码如下（求1-n，关于p的逆元）：

#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e8 + 10;

ll inv[maxn];

void pre(int p) {
    inv[0] = inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; i++)
        inv[i] = ((p - p / i) * inv[p % i]) % p;
}

int main() {
    int n, p;
    cin >> n >> p;
    pre(p);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%d\n", inv[i]);
    return 0;
}