1.3 GCD、EXGCD、线性同余方程

1.3 GCD、EXGCD、线性同余方程

最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的基本概念也是小学知识。对于任意整数$a,b$，我们有一个很重要的公式，即$a\ast b=GCD(a,b)\ast LCM(a,b)$。

首先我们会介绍几种基本的求GCD方式，虽然C++选手完全可以使用__gcd()函数去求，但自定义的求法往往更加灵活，方便优化以及改动实现其他功能。

辗转相除法求GCD

辗转相除法又称欧几里得算法，其原理是$GCD(x,y)=GCD(x,y-x)$，证明如下：

①设$z|x$，$z|y$，则$z|(y-x)$。

②设$z$不是$x$因子，则$z$不是$x$，$y-x$的公因子。

③设$z|x$，$z$不是$y$的因子，则$z$不是$x$，$y-x$的公因子。

当然我们可以把这个转换为模运算，因为取$y-x$的前提是$y>x$，于是我们可以递归的用模运算去实现，保证函数的第一个参数大于第二个参数（实在理解不了可以记模板）。代码如下。

typedef long long ll;
ll GCD(ll x, ll y) {
   
   
    return y == 0 ? x : GCD(y,x % y);
}

二进制算法求GCD

这个算法比辗转相除法更快一点点，但这个优化是常数级别的。原理是通过不断去除因子2来降低常数。具体做法如下：

若$x=y$，则$GCD(x,y)=x$，否则：

①若$x,y$均为偶数，则$GC$