费马小定理 & Miller-Rabin素数测试

最新推荐文章于 2021-11-11 20:53:37 发布

avgstuBoboge

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分类专栏：《OI数学一本通》学习笔记文章标签：算法 acm竞赛

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/avgstuBoboge/article/details/104204657

本文介绍了费马小定理及其在素数测试中的应用——Miller-Rabin算法。通过费马小定理的证明，阐述了其数学原理，并详细讲解了Miller-Rabin素数测试的过程，包括随机数选择、测试步骤等。该算法用于高效判断大数是否为素数，适用于ACM竞赛等场景。

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费马小定理 & Miller-Rabin素数测试

1.简单介绍一下费马小定理

若 $p$ 为素数， $a$ 为正整数，且 $g c d (a, p) = 1$ ，则： $p)a^{p-1}\equiv1(mod\ p)$ ，证明如下：

首先 $a, 2 a, 3 a, . . . (p - 1) a$ 中没有一个是 $p$ 的倍数。

且这些数中没有任意两个是同模于 $p$ 的。

那么我们可以推出：
$a*2a*3a*...*(p-1)a\equiv1*2*3*...*(p-1)(mod\ p)$

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专栏目录

C/C++ Miller-Rabin素性测试详解及源码

希望我的博客，能帮上你解决学习中工作中所遇到的问题

04-29

7768

该算法的优点在于时间复杂度较低，相对于传统的试除法具有一定的性能优势。Miller-Rabin素性测试是一种用于判断一个数是否为素数的概率性算法。其基本思想是通过多次测试，检查一个数是否满足一定的条件，从而判断其是否为素数。函数中，首先进行一些边界条件的判断，然后根据Miller-Rabin算法的步骤进行相应的计算。在使用该程序时，只需按照程序要求输入待测试的数和测试次数即可，程序会给出相应的判断结果。，它接受一个待测试的数n和测试次数k作为参数，并返回一个布尔值用于判断n是否为素数。

Miller-Rabin素数测试(Python)

qq_43373082的博客

11-11

2705

Miller Rabin素数测试算法-python 基础定理在实现该算法之前，需要了解一下下面两个定理: 费马小定理：p是一个质数，而a不是p的倍数，则有 ap−1≡1(modp)a^{p-1}≡ 1 (mod p)ap−1≡1(modp) 二次探测定理：如果p是奇素数，则x2≡1(modp)x^{2}≡ 1 (mod p)x2≡1(modp)的解为x=1或x=p−1(modp)x=1 或x=p-1 (mod p)x=1或x=p−1(modp) 如何实现根据费马小定理来实现素数检验它的基本思想

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利用费马小定理判断一个大整数是否为素数

Limerence

10-15

3662

利用费马小定理判断一个大整数是否为素数这是一篇关于一个显而易见的结论的文章，请理解的同学不要水我。大家应该都知道费马小定理是个啥：其中a为整数且p为质数，在此就不证明了，对此感兴趣的同学可以去找下度娘。到这里神犇的你显然理解了如何利用定理来判断素数了当我们判断一个整数n的时候，可以枚举a判断定理是否成立，只要对于任何一个a定理不成立，n显然就不是素数此法可以用来判断少量的较大的素数，...

费马小定理、Miller_Rabin与Pollard_Rho算法

某司机的黑车

01-04

489

前言 Miller_Rabin是用来快速判断质数，而Pollard_Rho则是用来快速分解质因数当然两个算法都很玄学，尤其是Pollard_Rho其实是Bogo失散多年的兄弟 费马小定理 当p为质数且a和p互质时，有 ap−1≡1&amp;amp;amp;amp;ThinSpace;(mod&amp;amp;amp;amp;ThinSpace;p)a^{p-1}\equiv1\,(mod\,p)ap−1≡1(modp)一定成立（当p为合数时...

利用费马小定理判断素数

weixin_30540691的博客

09-13

957

今天听了ljss神犇的数论课，顿时感觉————我真的是太弱啦！我只能稍微写一下我能听懂的部分orz 那么这就是今天我为数不多能听懂一点的之一......QAQ 首先先介绍今天的主角：费马小定理 ————转自维基百科没看懂的话我稍微解释一下，就是假如p是质数，且GCD(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）（假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方...

Miller_Rabin素数测试[Fermat小定理][二次探测定理][同余式][Wilson定理]

以中有足乐者...

08-14

4499

Miller和Rabin两个人的工作让Fermat素性测试迈出了革命性的一步，建立了Miller-Rabin素性测试算法。新的测试基于下面的定理：如果p是素数，x是小于p的正整数，且，那么要么x=1，要么x=p-1。这是显然的，因为相当于p能整除，也即p能整除(x+1)(x-1)。由于p是素数，那么只可能是x-1能被p整除(此时x=1) 或 x+1能被p整除(此时x=p-1)。

素数判定费马测试

一刀不二

07-05

2974

;; Fermat's Little Theorem: ;; If N is a prime number and A is any positive integer less ;; than N, then A raised to the N-th power is congruent to A modulo N ;; Two numbers are said to be congruent

实现Miller-Rabin素数判定算法.zip

05-09

Miller-Rabin素数判定算法基于费马小定理的一个扩展版本。费马小定理指出，如果p是素数且a是任意不被p整除的整数，那么$ a^{p-1} \equiv 1 \mod p $。在Miller-Rabin算法中，我们随机选择一个基数a，然后检查\( a^...

大素数测试的Miller-Rabin算法

C_S__D_N_的博客

11-11

526

给你一个大数n，将它分解它的质因子的乘积的形式。首先需要了解Miller_rabin判断一个数是否是素数大数分解最简单的思想也是试除法，这里就不再展示代码了，就是从2到sqrt(n)，一个一个的试验，直到除到1或者循环完，最后判断一下是否已经除到1了即可。但是这样的做的复杂度是相当高的。一种很妙的思路是找到一个因子（不一定是质因子），然后再一路分解下去。这就是基于Miller_rabin的大数分解法Pollard_rho大数分解。 Pollard_rho算法的大致流程是先判断当前数是

素数测试 费马小定理 辗转相除法

唐心的博客

09-23

541

素数测试素数除了1和自己外没有除数的自然数 n>1 可以整除意味着mod为0 费马小定理 p=primenumber p =prime number p=primenumber n<p n<p n<p np  mod  p=n n^p \ \ mod \ \ p = n np  mod  p=n 如： 113 随机选取三个小于113的数字提高到113次幂后，得到除以113的余数。 64113&

筛素数方法（二）—— 费马小定理及MR素数判断

CXR的博客

03-31

2606

注明：本文中的x^y表示x的y次方一、费马小定理 1.1 内容若p为素数，a为正整数，且gcd(a,p)=1,则a^(p−1)≡1(mod p)。1.2 证明因为p为素数，所以gcd(i,p)=1(1&lt;=i&lt;=p-1,i为整数），可推出①gcd((p-i)!,p)=1，又因为gcd(a,p)=1，所以gcd(i∗a,p)=1，则②没有一个i*a是p的倍数。设a...

素性测试 - 费马测试

海底捞个大菠萝的博客

05-18

537

描述费马测试确定一个数为素数的可能性。算法判断一个数n是否为素数，取比n小的数x，如果满足x^n % n = x的x值越多，则n为素数的可能性越大。-- 费马小定理 但是，有些合数（非素数）也有以上特性（称为卡迈尔克数），所以该方法只能确定数字为素数的可能性。 ...

费马测试讲解

qq_41486333的博客

09-06

1247

观看了《我的第一本算法书》，学到了一些没学过的算法，且巩固了下以前学过的算法，这边讲一个，我觉得挺有意思的算法，以前都没听说过。素性测试是判断一个自然数是否为素数的测试。素数（prime number）就是只能被 1 和其自身整除，且大于 1 的自然数。素数从小到大有 2、3、5、7、11、13……目前在加密技术中被广泛应用的 RSA 算法就会用到大素数，因此“素性测试”在该算法中起到了重要的作用。费马测试被称为概率性素性测试，它判断的是“某个数是素数的概率大不大”。这边举个例子：5是

【费马小定理】判断素数

It's the Climb

04-13

2537

【知识点】·费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。（即a和p模p-1同余1）·同余性质（仅作了解）：（1）对于同一个除数，两数的和（或差）于他们余数的和（或差）同余数。（2）对于同一个除数，两数的乘积与他们余数的乘积同余。（3）对于同一个...

费马小定理（筱玛爱地理）

AIRBOYONE的博客

07-06

355

带模运算的加减乘除分配律： (a + b)%m==(a%m+b%m)%m (a - b)%m==(a%m - b%m)%m (a * b)%m==(a%m * b%m)%m 但是除法就不对了 (a ÷ b)%m≠≠(a%m ÷ b%m)%m 例如: （3 ÷11）%5=3/11 (3%5 ÷ 11%5)%5=3 逆元： a ÷ a=1%m ⇒ a *%m a ÷ b=1%m...

素数测试

jiguanglong的博客

06-25

2410

素数测试是判断一个自然数是否为素数的一种方法。在现在加密技术中，经常使用的“RSA加密技术”可以处理非常大的素数，就使用了素数测试。关于RSA算法可以阅读以下这个（https://www.jianshu.com/p/fbb8bf7baa97）举个例子：判断5183是不是素数。一般通用方法，将5183除以大于2的数，看能不能整除。 5183的平方根是71.99305522062528所...

判断一个数是否为素数之费马测试

qq_40212975的博客

12-06

1438

费马测试被称为概率性素性测试，它判断的是“某个数是素数的概率大不大”。如果P为素数，那么所有比P小的数Q都满足公式 QP mod P = Q ，即例素数5的性质，比素数5小的数有4、3、2、1，那么: 45 (45=1024)mod 5 = 4 35 (35=243)mod 5 = 3 25 (25=32)mod 5 = 2 15 (15=1)mod 5 = 1 满足公式 QP mod P = Q 。实际使用中不需要对所有的Q进行计算，只需要随机选取几组即可。但反过来，如果所有Q都满足条件，

费马小定理

liangnimahanwei的博客

09-29

689

https://vjudge.net/problem/HDU-5685 题意：给一个公式求字符串的hash值然后给你一个完整字符串 a b 两点然后输出a b子串的hash值思路：子串，有公式，很容易想到前缀积因为利用前缀积可以表示任意一个子串但是乘法，还累乘肯定爆所以我们只能保存mod后的值现在有了pre【】求a b子串原本...

lower_bound和upper_bound求最长上升（不下降）子序列O(nlogn)做法。

不二君

07-11

1877

解决的问题：给定一个序列，求最长不下降子序列的长度（nlogn的算法没法求出具体的序列是什么）定义：a[1..n]为原始序列，dp[k]表示长度为k的不下降子序列末尾元素的最小值，len表示当前已知的最长子序列的长度。 O(logn)的复杂度维护，实际上利用了dp数组的一个性质：单调性（因为我们本来就要求的一个不下降或上升子序列，虽然dp数组长度变，但是dp数组还是一个递增数组）。 ...