费马小定理 & Miller-Rabin素数测试

本文介绍了费马小定理及其在素数测试中的应用——Miller-Rabin算法。通过费马小定理的证明,阐述了其数学原理,并详细讲解了Miller-Rabin素数测试的过程,包括随机数选择、测试步骤等。该算法用于高效判断大数是否为素数,适用于ACM竞赛等场景。

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费马小定理 & Miller-Rabin素数测试

1.简单介绍一下费马小定理

ppp为素数,aaa为正整数,且gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1,则:ap−1≡1(mod p)a^{p-1}\equiv1(mod\ p)ap11(mod p),证明如下:

首先a,2a,3a,...(p−1)aa,2a,3a,...(p-1)aa,2a,3a,...(p1)a 中没有一个是ppp的倍数。

且这些数中没有任意两个是同模于ppp的。

那么我们可以推出:
a∗2a∗3a∗...∗(p−1)a≡1∗2∗3∗...∗(p−1)(mod p) a*2a*3a*...*(p-1)a\equiv1*2*3*...*(p-1)(mod\ p) a2a3a...(p1)a12

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