求逆元的三种方法

1什么是逆元？

如果 1/a ≡ x ( mod p )，称 x 是 a 的逆元（在 mod p 意义下，p 为一个大质数）。你可能会不理解吧，1/a 不是整数啊，x 却是整数，怎么会有同余关系呢？你可以理解成 ·b 和 /a 的效果是一样的，即除以 p 的余数是一样的。比如 b 是 a 的倍数，x 是 a 的逆元，那么一定有 b · x ≡ b / a ( mod p )。

2求法一（扩展欧几里得算法）

如果 x 是 a 的逆元，那么显然 x · a ≡ 1 ( mod p )，x · a - 1 ≡ 0 ( mod p )。假设 x · a -  1 = py，所以 ax + py = 1。由于 a 和 p 互质，即 gcd ( a，p ) = 1，这个不定方程就可以用 扩展欧几里得算法 来求解了，求得的 x 即为 a 的逆元。

3求法二（费马小定理与快速幂）

x · a ≡ 1 ( mod p )，即一个 a 的倍数 mod p = 1，这是不是让你想起了 费马小定理？a ^ ( p - 1 ) ≡ 1 ( mod p )，其中 p 是质数，当然这只是 欧拉定理 的一个特例。因此 x = a ^ ( p - 2 ) 为 a 的逆元。在用编程来求 a ^ ( p - 1 ) 时，如果直接一个一个乘，显然太慢了（p 是一个大质数）。其实，求较大幂次有一个很好实现又很快的方法：快速幂，时间复杂度是 log 级别的。

4求法三（线性批量求逆元）

p 可以写成 ak + r，其中 r 为除以 a 的余数。ak + r ≡ 0 ( mod p )，两边同时乘以 a^(-1) · r^(-1)，得到 k · r^(-1) + a^(-1) ≡ 0 ( mod p )。再移项，得到 a 的逆元 a^(-1) ≡ - k · r^(-1) ( mod p )。r^(-1) 是 r 的逆元，这相当于一个递推的过程。即如果 i 的逆元记作 inv[ i ]，则 inv[ i ] ≡ - ( p / i ) · inv [ p mod i ] ( mod p )。这样做的好处是可以线性求得很多个数的逆元，但同时需要一定的存储空间。

5后记

针对不同的题目，应选取不同的做法，这 3 种求逆元的方法也各有千秋。现在你知道如何快速求组合数 C ( m，n ) mod p 了吧？