信息安全 chap-2 数学基础

1 数学基础

1.1 熵与疑义度

一条消息中的信息量： 要将消息中所有可能的含意编码所需的最少的比特位数。

熵： 用来形式化地衡量一条消息M中的信息量，记为H(M)。当用比特来衡量时，为log₂ⁿ，其中n为消息的状态个数，假设所有状态有相等的出现概率。
$$H(M)=lo{g}_{2}N$$

例：表示星期的信息的熵 H(M)= log₂ⁿ= log₂⁷=2.807
表示性别的信息的熵 H(M)= log₂ⁿ= log₂²=1
表示季节的信息的熵 H(M)= log₂ⁿ= log₂⁴=2
表示月份的信息的熵 H(M)= log₂ⁿ log₂¹²=3.585

疑义度： 消息的熵同时也可衡量其不确定性（疑义度），即将消息隐藏在密文中时，要破译它所需的明文比特数。

例：性别的疑义度为1

1.2 自然语言率

自然语言率： 对于给定的一种语言，其自然语言率为
$$r=H(M)/N$$
其中N为消息长度。

绝对语言率： 每个字符编码的最大比特数，这里假设每个字符序列出现的机会相等。若语言中有L个字母，则绝对语言率为：$$R=lo{g}_{2}L$$
为单个字母的最大熵。

冗余度：语言的冗余度记为D，定义为：
$$D=R-r$$

1.3 密码系统的安全性

绝对安全的密码系统： 一次一密（密钥与消息本身一样长，密钥随机产生且不重复使用）
密码系统的熵： 衡量密钥空间K的大小的一个标准，通常是密钥数以2为底的对数。$$H(M)=lo{g}_{2}k$$

1.4 确定性距离

确定性距离： 能够唯一地确定密钥的最短的密文长度的近似值。
 对称密码系统的确定性距离：定义为密码系统的熵除以语言的冗余度。$$U=$$