子模的性质(submodular)

本文介绍了子模函数的概念及判断方法,通过具体实例解析了如何判断一个函数是否为子模函数。文中给出了集合A与B的关系,并通过增益递减特性进行了详细解释。
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A是B的子集,

则对于函数f(),

如果:f(A+e)-f(A)>=f(B+e)-f(B)成立,则说f()函数是子模的。

增益递减。

注意A+e是A和e的并

例子如下:

u={1,2,3,4,5,6,7,8}

A={1,2,3}

B={1,2,3,5,6}

f(A)=|A| 集合A的个数

所以:f(A+e)-f(A)>=f(B+e)-f(B),例如e={3,4,5}

转载自http://www.2cto.com/kf/201301/184781.html

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Stable Diffusion 3.5 (SD 3.5) 是由 Stability AI 推出的新一代文本到图像生成模型,相比 3.0 版本,它提升了图像质量、运行速度和硬件效率

### 子模优化的概念 子模优化涉及一种特殊的集合函数性质——次模性。这种特性描述了一个集合函数 $ f(S) $ 的边际收益递减现象,即当向较小的集合中添加一个新元素时所带来的增益大于或等于将其加入较大集合中的增益[^5]。 具体来说,如果对于任意两个集合 \( S \subseteq T \subseteq V \),以及任何元素 \( x \in V \setminus T \),满足以下不等式: $$ f(S \cup \{x\}) - f(S) \geq f(T \cup \{x\}) - f(T), $$ 则称函数 \( f \) 是次模的。这一定义揭示了次模性的核心特征:随着集合的增长,新增元素带来的额外价值逐渐减少。 --- ### 子模优化的应用场景 由于其独特的数学属性,子模优化广泛应用于多个领域,包括但不限于以下几个方面: #### 数据摘要生成 在数据挖掘和机器学习中,常常需要从大量数据集中提取最具代表性的子集作为总结。例如,在图像检索任务中,可以通过最大化某个次模目标函数来选取一组能够最好概括整个数据库的图片[^1]。 #### 特征选择 为了提高模型性能并降低计算成本,通常会执行特征选择操作以保留最重要的变量组合。利用次模原理可以帮助找到这样的最佳子集,从而提升分类器效率的同时保持预测精度[^3]。 #### 社交网络影响力最大化 假设每邀请一位用户参与活动都会影响他周围的朋友也参加的概率,则如何挑选初始种子节点使得最终覆盖范围尽可能广便成为一个典型的次模问题实例之一[^2]。 --- ### 实现方法概述 针对不同的约束条件(如无约束、基数约束或其他更复杂的结构化限制),存在多种解决策略用于处理实际遇到的各种形式化的子模极值求解挑战: #### 贪婪近似算法 这是最常用的方法之一,尤其适用于带有简单容量上限的情况。基本思路是从空集开始逐步构建候选方案直到达到预定规模为止;每次迭代过程中总是优先考虑那些能带来最高即时回报的新成员加入当前部分成果之中[^3]。 以下是贪婪算法的一个伪代码表示: ```python def greedy_submodular_optimization(V, k, f): selected_set = set() remaining_elements = list(V) while len(selected_set) < k and remaining_elements: best_gain = float('-inf') best_element = None for element in remaining_elements: candidate_set = selected_set.union({element}) gain = f(candidate_set) - f(selected_set) if gain > best_gain: best_gain = gain best_element = element if best_element is not None: selected_set.add(best_element) remaining_elements.remove(best_element) return selected_set ``` #### 连续松弛法与投影梯度下降 另一种途径是先将离散域上的原始表述转换成连续版本后再借助标准数值工具对其进行探索。比如通过引入代理损失或者构造辅助变量等方式实现平滑过渡之后再运用诸如随机逼近技术之类的手段完成进一步细化调整工作流程设计环节当中去实践应用起来更加灵活高效一些[^4]。 --- ### 总结 综上所述,无论是理论研究还是工程实践中都证实了围绕着“子模块”展开讨论的重要性所在及其广阔前景展望未来发展方向值得期待! 问题
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