bezier 曲线的基本性质包括证明

转载：http://course.cug.edu.cn/21cn/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E5%AD%A6/Chapter3/CG_Txt_3_015.htm

1．定义

    给定空间n+1个点的位置矢量P_i（i=0，1，2，…，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：

    其中，P_i构成该Bezier曲线的特征多边形，B_i,n(t)是n次Bernstein基函数：

0° =1, 0!=1

Bezier曲线实例如图3.1.8所示。

图3.1.8 三次Bezier曲线

2．Betnstein基函数的性质

（1）正性

（2）端点性质

（3）权性

（4）对称性

（5）递推性。

即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。

（6）导函数

（7）最大值 

 

（8）升阶公式

（9）积分

3．Bezier曲线的性质

（1）端点性质

1. 曲线端点位置矢量

   由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P₀；当t=1时，P(1)=P_n。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。

2. 切矢量

   Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 

3. 二阶导矢

   

   上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关，与更远点无关。

   得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：

   

4. k阶导函数的差分表示

      n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：

    

      其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：

    

（2）对称性。

Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：

这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。

（3）凸包性

图3.1.9 Bezier曲线凸包性

（4）几何不变性。

   这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点P_i(i=0,1,...,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有：

（5）变差缩减性。

   若Bezier曲线的特征多边形P₀P₁...P_n是一个平面图形，则平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。

（6）仿射不变性

对于任意的仿射变换A：

即在仿射变换下，P(t)的形式不变。