11、树自动机与逻辑：从MSO理论到收缩方法

树自动机与逻辑：从MSO理论到收缩方法

1. MSO理论基础

1.1 MSO理论定义

对于一个关系结构 (S = (V, (E_r)_{r\in\Sigma}))，其MSO理论被定义为所有在 (S) 中成立的MSO句子 (\phi) 的集合。在书写MSO公式时，常使用自然的简写形式，如 (X = Y) 表示 (X \subseteq Y \land Y \subseteq X)，(X = \varnothing) 表示 (\forall Y. X \subseteq Y) 等。

1.2 MSO逻辑片段

• 路径片段 ：在考虑扩展图结构时，可以使用MSO逻辑的路径片段，它通过仅允许对路径进行量化从标准MSO逻辑得到。
• 链片段 ：通过仅限制对链（即路径的子集）进行量化得到。
• 简化片段 ：在一些定义和证明中，常使用仅使用集合变量的等价片段。每个个体变量 (x) 被集合变量 (X) 替换，然后通过合适的公式（如 (\phi_{sing}(X) = \forall Y. (Y = \varnothing \lor X = Y \lor X \subseteq Y))）限制 (X) 仅由单元素集实例化。

1.3 MSO可定义性

给定关系结构 (S = (V, (E_r)_{r\in\Sigma})) 和 (V) 上的 (n) 元关系 (E)，若存在MSO公式 (\phi(x_1, …, x_n)) 使得对于每个 (v_1, …, v_n