图论与算法问题解析

1、构建一个算法来判断给定图中的一条边是否为桥。

为了检查图 $ G $ 中的边 $ ab $ 是否为桥，我们在 $ G - ab $ 中搜索从 $ b $ 到 $ a $ 的路径。从 $ b $ 开始，筛选 $ b $ 的所有邻接点，然后是邻接点的邻接点，依此类推，但跳过已经遇到的点（由于我们尽可能靠近根节点 $ b $，这被称为 广度优先搜索 （BFS））。结果是以 $ b $ 为根的树，它覆盖了 $ G - ab $ 中其连通分量。如果 $ a $ 不在该树上，则 $ ab $ 是桥。

对于实际实现，我们可以构建一个待检查其邻接点的顶点队列。最初，对于所有 $ v \in V(G) $，定义 $ q_v = n := |G| $。将队列长度 $ \ell $ 设为 1，并令 $ q_b = 1 $，使得顶点 $ b $ 现在排在第一位。

然后，我们依次搜索 $ G - ab $ 中 $ b $ 的尚未访问过的邻接点 $ u $，即满足 $ q_u = n $ 的邻接点：

• 如果遇到 $ a $，我们停止：$ ab $ 不是桥。
• 否则，将 $ \ell $ 增加 1，并令 $ q_u = \ell $。

在扫描完 $ b $ 的所有邻接点后，将 $ \ell $ 减少 1，并对所有满足 $ q_u \in [n - 1] $ 的顶点重复此过程。接着重新开始搜索队列中第一个顶点 $ v $（即 $ q_v = 1 $）的邻接点，只要队列中还有顶点，即
$$
\ell = |{ u \in V(G) \mid q_u \in [n - 1] }| \neq 0
$$
循环继续。

2、判断K3,3是否为平面图。

K3,3不是平面图，根据库拉托夫斯基定理可知其非平面，不过它是可嵌入环面的，即它是环面图。

3、三名男子和他们各自对应的三名姐妹想用一艘能载一到两人的船过河。没有一个兄弟愿意让他的姐妹和其他男人在一起。需要多少次单程过河，这个任务有多少种解决方案？