13、树自动机的收缩方法与树变换解析

树自动机的收缩方法与树变换解析

1. 树自动机的收缩方法

首先，我们来探讨树自动机的收缩方法。考虑一个无限单词 $w : N → C$，它可以被看作是一个扩展的线性结构 $L = (N, E, (P_c)_{c∈C})$，其中 $(i, j) ∈ E$ 当且仅当 $j = i + 1$，并且 $i ∈ P_c$ 当且仅当 $w(i) = c$。设 $T$ 是一个无限的完全 $C$ 色二叉树，树的第 $i + 1$ 层的每个顶点都用 $w(i)$ 着色。形式上，如果我们用集合 $A = {a_1, a_2}$ 中的元素标记 $T$ 的边，那么对于每个 $v ∈ A^*$，有 $T(v) = w(|v|)$。

已知如果 $L$ 的 MSO 理论是可判定的，那么 $T$ 的 MSO 理论也是可判定的。常见的证明方法是表明 $T$ 是通过对 $L$ 进行 MSO 可定义的解释得到的图 $G$ 的展开。不过，还有一种方法是利用非确定性树自动机在 $T$ 上的运行与交替顺序自动机在 $L$ 上的运行之间的对应关系来证明。现在我们介绍一种新的方法，它独立于展开操作的 MSO 兼容性以及非确定性和交替自动机之间的等价性。

设 $B = {b}$，$\Pi$ 是 $T$ 的 $B$ 标记因式分解，使得 $Dom(\Pi) = Dom(T)$。考虑一个通用的 $B$ 增强树自动机 $A = (A, C, B, S, Δ, I, F, G)$ 在 $T$ 上运行。$T$ 相对于 $A$ 和 $\Pi$ 的收缩 $\hat{T}$ 定义如下：
- $Dom(\hat{T}) = Dom(\Pi)$；
- 对于 $\hat{T}$ 的每个顶点 $v$，$\hat{T}(v)$ 是 $T