10、树自动机与逻辑：从理论到实践的探索

树自动机与逻辑：从理论到实践的探索

1. 引言

在无限状态系统验证领域，单值二阶逻辑（Monadic Second - Order Logic，MSO）作为一种强大的规范语言被广泛应用。它能够表达图结构的许多相关属性，如可达性、平面性、顶点 k - 可着色性等，并且涵盖了一阶逻辑以及许多命题（时态）模态逻辑。然而，MSO 的模型检查问题在许多关系结构中是高度不可判定的。不过，Büchi 和 Rabin 的定理为特定结构（线性序 (N, <) 和无限完全二叉树）的模型检查问题提供了可判定性结果。本文将探讨如何将 Elgot - Rabin 收缩方法推广到处理扩展树结构，以及相关的理论和应用。

2. 基础概念

2.1 图和树

• 图的定义 ：使用标签（label）标识图的边，颜色（color）标识图的顶点。A 标签（有向简单）图是一个元组 G = (V, (Ea)a∈A)，其中 V 是可数的顶点集，(Ea)a∈A 是定义图边及其标签的二元关系。扩展图是配备了一元谓词的图，可规范地表示为 C 着色图。
• 树的定义 ：重点关注（无等级）有根树，即对于每个顶点 v，存在从指定源顶点（根）到 v 的唯一路径（访问路径）。为简化树的组合性质描述，区分树的内部顶点颜色集 C 和叶子颜色集 D。确定性 A 标签 C 着色 D 增强树可视为从字母表 A 上的前缀封闭语言 L 到集合 C∪D 的部分函数。

术语	定义