17、树自动机与逻辑：收缩方法的有效性

树自动机与逻辑：收缩方法的有效性

在树自动机与逻辑的研究领域中，收缩方法的有效性具有重要意义。本文将通过几个有意义的应用实例，展示可约树的闭包性质的有效性，包括确定Caucal层次结构中确定性树的秩的合适上界、刻画双向交替Muller树自动机识别的语言，以及证明形态树接受问题的可判定性。

1. 可约树与Caucal层次结构

Caucal层次结构中的确定性树可以通过树转换和展开操作来生成。具体来说，每个层次的树可以通过对前一层次的树应用逆有理替换和展开操作得到。

• 树生成器 ：对于Caucal层次结构的每个层次，存在一个代表图，称为图生成器。此外，还定义了一类新的树生成器，即Cachat树生成器，它可以通过对无限完全二叉树进行n次FlipUnf操作得到。这些树生成器可以通过MSO可定义解释生成Caucal层次结构中的所有图。
• 新的树生成器类 ：定义了一个新的树生成器类，它包含所有Cachat树生成器，并通过逆有理前向替换生成Caucal层次结构中的所有确定性树。
• 定理与推论 ：
  • 定理11 ：Caucal层次结构中第n层的确定性树是所有形式为$T(FlipUnf^n(T))$的树，其中$T$是正则树，$T$是具有有理前瞻的树转换。
  • 推论2 ：Caucal层次结构中第n层的确定性树的秩为n。

下面是Caucal层次结构中