25、信号处理中的傅里叶变换与采样准则详解

信号处理中的傅里叶变换与采样准则详解

1. 狄拉克函数与傅里叶变换对

在深入探讨之前，我们需要先定义狄拉克函数（delta 函数）。狄拉克函数可以被看作是在特定时间间隔内出现的函数，其定义如下：
[
\delta(t - s) =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } t = s \
0, & \text{否则}
\end{cases}
]

信号在时域和频域的表示之间的关系被称为变换对。例如，时域中的脉冲信号在频域中的变换是 sinc 函数。由于这种变换具有对称性，sinc 函数的傅里叶变换则是脉冲信号。

此外，还有其他的傅里叶变换对，具体如下表所示：
| 时域信号 | 频域频谱 |
| — | — |
| 余弦函数 ( \cos(t) ) | 频域中的两个点（正负频率值相同） |
| 高斯函数 ( g(t) ) | 另一个高斯函数 |
| 狄拉克函数 ( \delta(t, 0) ) | 无限频率集 |
| 均匀间隔的狄拉克函数集 | 另一个均匀间隔的狄拉克函数集，但间隔不同 |

这些变换对展示了不同信号在时域和频域之间的对应关系，为后续的信号处理和分析提供了基础。例如，余弦函数只有一个频率，所以其傅里叶变换在频域中表现为两个点。高斯函数的变换仍然是高斯函数，体现了线性系统的特性。狄拉克函数包含了所有频率的等量成分，当脉冲持续时间趋近于零时，其频谱变得无限平坦。而均匀间隔的狄拉克函数集的变换对是采样理论的基础，这对于选择合适的图像大小具有重要指导意义。

2. 采样准则 <