13、傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

1. 引言

在现代通信、雷达和图像处理系统中，傅里叶方法广泛用于信号分析和系统设计。经典的傅里叶方法，如傅里叶级数和傅里叶积分，适用于连续时间（CT）信号和系统，即特征信号 $s(t)$ 在连续区间 $–∞ < t < ∞$ 内的所有 $t$ 值上都有定义的系统。近年来发展起来的一组傅里叶方法，包括离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换，是基本傅里叶概念在离散时间（DT）信号上的扩展。特征 DT 信号 $s[n]$ 仅在 $n$ 为整数且 $–∞ < n < ∞$ 的值上有定义。

连续时间域和离散时间域之间的关系通过采样和重建操作来表征。如果 $s_a(t)$ 表示信号 $s(t)$ 以 $T$ 秒为间隔进行均匀采样后的信号，那么 $s_a(t)$ 的数学表示为：
$$s_a(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(t) \delta(t - nT)$$
其中 $\delta(t)$ 是 CT 冲激函数，对于所有 $t \neq 0$ 定义为零，在 $t = 0$ 处未定义，并且从 $t = –∞$ 到 $t = +∞$ 积分时面积为 1。由于乘积 $s(t) \delta(t - nT)$ 仅在采样时刻不为零，因此可以将上式中的 $s(t)$ 替换为 $s(nT)$，得到：
$$s_a(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(nT) \delta(t - nT)$$
CT 采样模型 $s_a(t)$ 由一系列以 $T$ 秒为间隔均匀分布的 CT 冲激函数组成，其权重为信号 $s(t)$ 在采样时刻的值。需要注意的是，$s_a(t)$ 在采样时刻未定义，