15、傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

1. 引言

在现代通信、雷达和图像处理系统中，傅里叶方法常用于信号分析和系统设计。经典的傅里叶方法，如傅里叶级数和傅里叶积分，适用于连续时间（CT）信号和系统，即特征信号 $s(t)$ 在 $-\infty < t < \infty$ 的连续区间内定义。较新发展的傅里叶方法，包括离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换，是基本傅里叶概念在离散时间（DT）信号上的扩展，特征 DT 信号 $s[n]$ 仅在整数 $n$ 的取值 $-\infty < n < \infty$ 上定义。

连续时间域和离散时间域的关系通过采样和重建操作来表征。若 $s_a(t)$ 表示信号 $s(t)$ 以 $T$ 秒为间隔均匀采样后的信号，其数学表示为：
[s_a(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(t)\delta(t - nT)]
其中，$\delta(t)$ 是 CT 脉冲函数，除 $t = 0$ 处未定义外，其他 $t$ 值处为 0，且从 $t = -\infty$ 到 $t = +\infty$ 的积分值为 1。由于 $s(t)\delta(t - nT)$ 仅在采样时刻不为 0，上式中的 $s(t)$ 可替换为 $s(nT)$，得到：
[s_a(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(nT)\delta(t - nT)]

CT 采样模型 $s_a(t)$ 由一系列间隔为 $T$ 秒的 CT 脉冲函数组成，其权重为信号 $s(t)$ 在采样时刻的值。需要注意的是，$s_a(t)$ 在采样时刻未定义，但 $s(t)$ 在采样时刻的值以“曲线下面积”的形