10、离散傅里叶变换及相关算法详解

离散傅里叶变换及相关算法详解

1. 连续时间信号采样与频谱关系

在信号处理中，连续时间（CT）信号经过采样后会得到离散时间（DT）信号。对于一个周期为 $T$ 的连续时间信号，其频谱可以通过 CT 傅里叶级数展开来表示。具体来说，经过一系列推导可得：
[S(e^{j\omega T}) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} S(j[\omega - \frac{2\pi}{T}n]) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} S(j[\omega - n\omega_s])]
其中，(\omega_s = \frac{2\pi}{T}) 是采样频率（单位为弧度每秒）。另一种形式为：
[S(e^{j\omega’}) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} S(j[\frac{\omega’ - n2\pi}{T}])]
这里，(\omega’ = \omega T) 是归一化的 DT 频率轴（单位为弧度）。

需要注意的是，(S(e^{j\omega T}) = S(e^{j\omega’})) 由 CT 频谱 (S(j\omega)) 的无限多个副本组成，这些副本在 (\omega) 轴上以 (\frac{2\pi}{T}) 为间隔排列（在 (\omega’) 轴上以 (2\pi) 为间隔排列）。

如果 (S(j\omega)) 是带宽为 (W_c) 的带限信号，并且选择足够小的 (T) 使得 (\omega_s > 2W_c)，那么 DT 频谱在基带内是 (S(j\omega)) 的一个缩放副本（缩放因子为 (\f