低损耗光交叉波导设计

光印刷电路板用低损耗交叉多模波导的折射率分布设计

1. 引言

微处理器的性能提升加速了高性能计算机（HPC）的算术处理速度，从而引发了全球 HPC之间的性能竞争[1]。为了持续支持HPC不断增长的性能，HPC系统的功耗将成为一个关键问题。因此，光互连正逐步被引入此类HPC系统中。

目前，一些性能超过 peta FLOPS 的高性能计算机（HPC）已在机架间数据交换中采用多模光纤（MMF）链路，其光电（O/E）和电光（E/O）信号转换发生在印制电路板（PCB）边缘。在先进系统中，O/E 和 E/O 转换需要尽可能靠近处理器芯片，以降低板上电布线中的信号失真（即使在如此短的链路中），从而实现更高速度和更高能效的操作 [2]。光印制电路板（O‐PCB）已成为实现板上光互连的有前景解决方案，可实现远高于上述多模光纤链路的布线密度。

因此，由于O‐PCB集成聚合物光波导具有易于制造、与PCB基板良好的相容性以及低成本等优点，受到了广泛关注[3–5]。为实现O‐PCB，全球已广泛开展了仅含直芯的聚合物波导研究。同时，弯曲波导和交叉波导在板上布线中备受期待。特别是具有低损耗和低通道间串扰的交叉光波导，可实现PCB上的单层光布线，从而带来更灵活的结构设计。事实上，近年来基于传统SI芯聚合物光波导的交叉聚合物波导研究变得更加活跃 [6, 7]。然而，由于光泄漏，在两个纤芯交点处产生的额外光损耗一直是一个关键问题。

与此同时，我们已证实，采用渐变折射率（GI）芯的多模聚合物波导表现出更低的损耗、更低的通道间串扰，以及与具有圆形渐变折射率芯的多模光纤更低的连接损耗[8–10]。得益于该研究，GI芯聚合物波导正受到越来越多的关注[11, 12]。然而，作为GI芯非常重要的特性，其折射率分布如何影响低损耗波导的性能，目前尚未得到充分讨论。

本文重点研究多模交叉波导的光学损耗，并提出一种由GI芯组成的新型交叉波导。通过光线追踪仿真，理论计算了交叉纤芯交点处的损耗。

2. 光传播的理论分析

2.1 光线追踪法

已经提出了许多分析方法用于模拟光波导中的光波传播。基于波动光学的分析方法，如光束传播法（BPM）和时域有限差分法（FDTD），在过去十年中被广泛使用。然而，本文关注的梯度折射率芯多模交叉波导具有大量的纤芯交点，且交点处的折射率分布可能与纤芯直行区域的不同。因此，波导结构在横向和轴向上均存在变化。此外，本文中的聚合物波导具有高达0.25的数值孔径（NA）以及高达50 μm的大纤芯尺寸。这些特点会使基于波动光学的仿真更加复杂和困难，导致更长的计算时间。因此，本文采用光线追踪法进行仿真。众所周知，光线追迹方法能够获得高精度的结果，特别是对于多模波导[13]。此外，上述折射率分布在轴向的变化对光线追迹仿真的计算时间影响较小。

梯度折射率介质中的光传播由光线方程表示如下：

$$
\frac{d}{ds} \left[ n(\mathbf{r}) \frac{d\mathbf{r}}{ds} \right] = \nabla n(\mathbf{r})
$$

其中，$n(\mathbf{r})$ 是位置矢量 $\mathbf{r}$ 处的折射率，$s$ 是沿光线路径的距离。本文中，矩形纤芯的折射率分布采用修正幂律形式近似表示，如公式(2)至(5)所示：

$$
n(x,y) = n_{co} \sqrt{1 - 2\Delta \left[ f(x)^p + g(y)^q \right]}
$$

$$
f(x) = \frac{x}{a_x}, \quad g(y) = \frac{y}{a_y}, \quad \Delta = \frac{n_{co} - n_{cl}}{2n_{co}}
$$

当 $f(x)^p + g(y)^q \geq 1$ 时，

$$
n(x,y) = n_{cl}
$$

这里，$n_{co}$ 和 $n_{cl}$ 分别为纤芯中心和包层的折射率，而 $a_x$ 和 $a_y$ 分别为矩形纤芯的半宽和半高。两个折射率指数 $p$ 和 $q$ 分别表示纤芯在水平和垂直方向的折射率分布。

2.2 计算条件

在交叉波导仿真中，我们将上述近似的折射率分布应用于程序。图1展示了本文所关注的垂直交叉波导的结构。其中，$n_{co}$ 和 $n_{cl}$ 分别设为1.553和1.536，假设为住友电木株式会社开发的基于聚降冰片烯的波导。纤芯中的折射率分布通过水平（x‐）方向和垂直（y‐）方向的折射率指数 $p$ 和 $q$ 进行调节。在此，为了用幂律形式逼近SI芯，通常将折射率指数[16]设为无穷大。然而，我们预先确认了当 $p$ 和 $q$ 高达40时，纤芯中的光线轨迹已非常接近SI芯中常见的全内反射。因此，在光线追踪模拟中，对于SI芯交叉波导的直行区域，我们采用 $p = q = 40$ 的条件。此处，作为

如图1所示，我们将两个交点之间的纤芯区域称为“直核（区域）”。因此，只需设置参数 $p$ 和 $q$，即可使用相同的仿真程序对阶跃折射率和渐变折射率纤芯进行仿真。

同时，当我们将用于实验制备“GI芯”聚合物波导的制备技术（如软光刻方法[17] 或光寻址方法[18]）应用于交叉波导时，芯层材料向包层的扩散（以及反向扩散）起着关键作用。芯层和包层材料扩散后形成的浓度分布最终对应于GI剖面。对于交叉波导而言，由于在交点区域的 和 方向均不存在包层，因此难以期望单体在交点区域的扩散与直芯中的扩散情况相同。因此，在仿真中，“SI和GI核”交叉波导的所有交点均被假定为具有SI剖面($n_{int}$)，这应视为梯度折射率芯交叉波导的最坏情况。

在接下来的章节中，我们将模拟交叉波导的光学损耗，并讨论低损耗波导的设计。首先，如图1所示，将纤芯尺寸 $a_x$ 和 $a_y$ 设置为 $2a_x = 2a_y = 50\ \mu m$。如上所述，光线追迹方法适用于这种具有高精度的大纤芯多模波导。该波导包含50个垂直交叉结构，节距为 $P$，从输入端到第一个交点的距离为 $P_{in}$，如图1所示。此处将 $P$ 和 $P_{in}$ 分别设为250和125 μm。众所周知，注入条件对多模波导特性是一个非常重要的问题。我们通过设定入射光束的光斑尺寸（光束腰） $2\varepsilon = 10\ \mu m$ 来定义该条件，假设光源为发射波长为850纳米波长的垂直腔面发射激光器（VCSEL）。然后，我们使每条入射光线具有不同的光强。输入光线总数为10,000，以实现具有10‐μm光束腰的高斯近场模式（NFP）。同时，光线束的输入数值孔径（NA）设为0.20，略低于波导的数值孔径。这里，我们同样假设注入光线的总角强度分布为高斯分布。注入条件对损耗的依赖性将在下一节中进行评估。

3. 交叉波导的计算特性

3.1 由于交叉结构引起的光损耗

通过累积所有穿过交叉结构的光线强度，对交叉波导的光损耗进行统计分析。如上所述，交点处的折射率（$n_{int}$）是平坦的，并且在SI‐芯和GI芯交叉波导中，如公式(2)所述，$n_{int}$被设置为与$n_{co}$相同。图2显示了我们之前报道的结果[19]。此处，针对SI和GI芯交叉波导，绘制了总（累积）损耗随交叉数量的变化关系。对于折射率指数$p = q = 40$和$p = q = 3$的条件仅应用于直行区域中的SI和GI纤芯仿真。

阶跃折射率纤芯交叉波导在50次交叉后的总损耗计算为2.58分贝，几乎是相同交叉次数下渐变折射率芯（具有$p = q = 3$）交叉波导损耗（0.0958分贝）的25倍。对于 SI‐芯波导而言，全内反射需要包层的存在。在SI‐芯交叉波导的交点处，由于在x轴方向上不存在包层，部分光线可能会泄漏到交叉的纤芯中，如图3(a)所示。相比之下，GI芯中的光线传播至z轴方向时，并不一定需要包层，因为这些光线由于折射而被限制在纤芯中。在具有$p = q = 2$的GI芯中，光线以正弦轨迹[14]传播是众所周知的。当我们关注子午光线时，当光线通过纤芯中心轴时，其与纤芯轴之间的夹角最大；而当光线接近芯‐包层边界时，其传播方向变为与z轴平行。因此，在GI芯交叉波导中，在交点处仅有极少的光线泄漏到交叉的纤芯中，如图3(b)所示。在图2中，对GI芯交叉波导的实验测得损耗进行了比较[19], ，结果显示其值非常低，与计算结果一致，甚至低于仿真结果。

3.2 交点处折射率和纤芯尺寸的影响

为了计算图2中的结果，我们假设梯度折射率芯交叉波导中的交点具有均匀折射率（$n_{int} = n_{co}$）。因此，在梯度折射率芯交叉波导中，直通区域与交叉区域的折射率差异可能影响波导损耗。光线在直通区域与交叉区域的边界处发生折射，遵循斯涅尔定律，如图3(b)所示。由于从纤芯中心开始折射率逐渐横向减小，光线注入交叉区域的位置距离纤芯中心越远，其折射角（光线方向与波导轴之间的夹角）越小。因此，即使光线在靠近包层的位置注入交叉区域，也更有可能被限制在纤芯内传播。

因此，对GI芯交叉波导的损耗随$n_{int}$值的依赖性进行了仿真。在计算中，$n_{int}$从$n_{co}$变化到$n_{cl}$，当$n_{int}$分别为1.553、1.545和1.536时的结果如图4(a)所示。除$n_{int}$设置外，其他模拟条件与图2结果所用的条件相同。由图4(a)可知，尽管发现较高的$n_{int}$对应较低的损耗，但在50次交叉后，即使$n_{int}$取最小值$n_{cl}$，其损耗也仅高出0.02 dB。当$n_{int}$等于$n_{cl}$时，光线在直行区域与交点边界的折射角大于入射角，可能导致光线泄漏。然而，由于$n(x, y)$与$n_{cl}$之间的差异非常小，折射后的光线仍能被限制在纤芯中。因此，尽管所有交点处均为阶跃折射率分布，但渐变折射率芯的强光约束效应在减少光线泄漏方面起到了关键作用。

同时，与均匀折射率的交点处，$n_{int}$可能会引起菲涅尔反射损耗。如上所述，$n(x, y)$ 与 $n_{int}$之间的折射率差非常小，且根据波导的数值孔径值计算出光线对交点的最大入射角仅为8°至10°。由于这些原因，即使在最多50次交叉的情况下，菲涅尔反射引起的损耗也应低至0.007 dB。因此，即使考虑菲涅尔反射带来的损耗，梯度折射率芯交叉波导中的交叉损耗仍然足够低。

在光线追踪模拟中，纤芯尺寸可能是另一个需要考虑的因素，因为计算结果可能会被高估或低估。因此，也对GI交叉波导中损耗随纤芯尺寸的依赖性进行了仿真。纤芯宽度和高度$2a_x$、$2a_y$分别设置为35、50、75和100 μm。尽管纤芯尺寸有所变化，图1 中的指数系数$p$和$q$值保持不变，其他模拟条件与图2结果所用的条件相同。结果如图 4(b)所示。虽然在50次交叉后，50‐μm和100‐μm纤芯尺寸的结果之间观察到约0.04 dB的损耗差异，但并未表现出明显的纤芯尺寸依赖性。在这些光线追踪模拟中，注入光线总数为10,000，每条光线的方向和强度通过随机数确定，遵循蒙特卡洛方法。由于使用随机数导致注入条件偏差的影响，在50次交叉后当$p = q = 3$时计算为± 0.03 dB，而当$p = q = 40$时为± 0.05 dB。因此，图4(a)和图4(b)中显示的关于$n_{cl}$和纤芯尺寸的损耗依赖性可能包含由于随机数使用带来的波动。因此，即使在对GI芯不利的条件下，其交叉损耗仍远低于SI芯交叉波导。从图4(a)和图4(b)的结果可以看出，有趣的是最大损耗增量出现在第一次交叉，随后是逐渐损耗增加。此外，还观察到周期性突变损耗增加。由于高阶模式更容易优先泄漏，第一次交叉处较大的损耗增量是可以理解的。同时，这种周期性损耗增加的原因将在第3.5节中讨论。

交点处的折射率（nint）和(b)纤芯尺寸的依赖性)

3.3 折射率分布依赖性

在上述章节中，我们仿真了折射率指数$p = q = 3$的GI芯交叉波导的损耗，尽管众所周知从模态色散的角度来看，$p = q = 2$的条件应是理想的。在我们发表仿真结果[19],之后，其他制备GI芯交叉波导的方法也被研究[12]。然而，折射率分布看起来偏离了抛物线形状，甚至呈现非对称性。这意味着在实际制造过程中，精确控制折射率达到唯一的$p$和$q$值是困难的。在大多数GI芯的制备技术中，纤芯与包层材料的扩散对于控制折射率分布至关重要，因此形成具有$p = q = 2$的折射率分布比具有较大$p$和$q$值的折射率分布要困难得多。因此，在本节中，我们重点研究直行区域折射率分布对交叉损耗的依赖性。

在图5(a)中，示出了正交交叉波导的累积交叉损耗随交叉次数变化的仿真结果。在此计算中，直行区域的参数$p$和$q$分别取值为$p = q = 2$、5、7、10和40。在这些情况下，从图6中可以确认折射率分布的差异。由图5(a)可知，随着$p$和$q$值的增大，交叉损耗增加。尽管在图6中可以明显观察到$p = q = 2$与$p = q = 5$两种折射率分布之间的差异，但相比于$p = q = 10$及更大的情况，这两种分布的累积损耗相当低。此处提取了经过20次和50次交叉后的损耗值，并将这些损耗值在图5(b)中绘制为指数系数（$p$和$q$）的函数。

非常有趣的是，如图5(b)所示，当指数系数（$p$和$q$）超过5.0时，累积交叉损耗急剧增加。根据这些结果，我们确认仅在纤芯‐包层边界处形成轻微的折射率渐变即可降低交叉损耗，例如当$p = q = 10$时。然而，我们也验证了为了实现具有足够低交叉损耗的波导，指数系数$p$和$q$应尽可能小，最好等于或小于5，尽管这强烈依赖于交叉波导的设计：交叉数量、交叉角度等。

除了折射率指数的多样性之外，指数系数$p$和$q$的取值差异可能是另一个需要关注的问题。在上述计算中，我们设定参数$p$和$q$相同，但通常情况下，当我们采用目前提出的多种技术来制造渐变折射率纤芯波导时，$p$和$q$可能不同。我们初步计算了不同的$p$和$q$的影响，并在[19],中进行了报道，但对于这种非对称折射率分布（$p ≠ q$）的详细讨论将另文发表。

3.4 注入条件

在上述计算中，我们从理论上证明了当渐变折射率纤芯的折射率指数$p$和$q$小于5.0 时，可显著降低正交交叉波导中的交叉损耗。此外，即使交叉区域具有阶跃折射率分布，GI芯交叉波导仍能保持低损耗特性。由于本文讨论的波导以多模方式传播，因此需要注意的是，其光学特性在很大程度上依赖于注入条件。如2.2节所述，我们将输入光束定义为由多条光线组成、具有高斯强度分布（光斑尺寸为10‐μm）以及高斯角度分布（注入数值孔径为0.20）的光束。该注入条件可能对GI芯交叉波导较为有利。因此，本节中我们研究SI和GI芯交叉波导的交叉损耗对注入条件（光斑尺寸和偏移量）的依赖性。

图7展示了当光斑尺寸设为30 μm和40 μm时的仿真结果，并与10‐μm光斑尺寸的结果进行了比较。我们观察到光斑尺寸对累积损耗的影响较小。在GI芯波导的情况下，如果光线注入点偏离纤芯中心，光线会以高阶模式频繁经过纤芯外围，因此这些光线可能容易泄漏到交叉纤芯中。这意味着即使在梯度折射率交叉波导中，较大的光斑尺寸也可能导致较高的损耗。事实上，当$p = q = 5$及更低时，损耗随光斑尺寸增大而增加，而在SI芯波导中（$p = q = 40$），未发现明显的光斑尺寸依赖性。然而，研究发现入射光束的光斑尺寸并不足以导致像SI芯交叉波导中所观察到的那样高的交叉损耗。

同时，偏移注入被广泛用于有意激发梯度折射率多模光纤中的高阶模式，以测量差分模式延迟[20]。因此，在偏移注入条件下，梯度折射率芯交叉波导的交叉损耗增加成为一个关注点。图8显示了在偏移注入条件下，SI和GI芯交叉波导经过50次交叉后的计算损耗。在此仿真中，入射光束相对于波导的位置沿图1所示的x方向以5‐μm为步长进行移动，然后计算交叉损耗。此处，在偏移注入条件下会产生耦合损耗，特别是在GI芯波导中。为了获得交叉损耗，需减去耦合损耗，因此图8中的“累积损耗”仅是由纤芯交叉引起的光学损耗。如图8所示，在0‐μm偏移时，SI芯中观察到高达2.5 分贝的损耗，并且在偏移条件下始终保持这一水平。在SI芯中，与中心注入相比，偏移注入条件下的光线轨迹变化很小：只有入射角是影响光线是否泄漏的参数。相比之下，GI芯波导的交叉损耗随着偏移量的增加而略有上升。然而，即使增加了15‐μm的偏移，损耗增量也仅为0.26 分贝，仍远低于SI芯对应的损耗。尽管在15‐μm偏移下，梯度折射率纤芯中的高阶模式被强烈激发，但即使是这些高阶模式也被高度限制在GI芯内，表现出极低的交叉损耗。

因此，无论注入条件如何，梯度折射率芯交叉波导的损耗都显著低于阶跃折射率芯交叉波导。在实验制备的GI芯交叉波导中，交点处的折射率不会是平坦的，而是存在变化。当$n_{int}$不再平坦时，已发现交叉损耗为较低的[19]。此外，在上述所有仿真中，水平和垂直方向的折射率分布被设置为相同（$p = q$）。然而，在实验制备的交叉波导中，这两种分布不一定相同。事实上，使用光寻址方法制备的波导具有非对称剖面：在垂直和水平方向分别为阶跃折射率和渐变折射率分布。我们将这种分布称为SI‐GI剖面。SI‐GI芯交叉波导中的计算损耗已在[19],中报道，非对称折射率分布对交叉损耗的影响以及交点处折射率分布的影响将在其他地方详细描述。

3.5 损耗机制

在光线追踪仿真程序中，追踪每一条从纤芯泄漏的光线，以确定其泄漏的位置和方式。然后可对损耗机制进行统计分析。阶跃折射率（SI）（$p = q = 40$）和渐变折射率（GI）（$p = q = 3$）的结果汇总于图9中。此处，所有泄漏的光线被分为三类：（1）在交点处泄漏的光线，（2）在直行区域泄漏的光线，以及（3）因其他原因泄漏的光线，例如恰好在拐角处（由于光线追踪的限制）。这三类分别在图9中表示为“交点”、“直通”和“辐射”。

值得注意的是，在直行区域以及交点处均观察到光线从纤芯泄漏的现象。在SI芯交叉波导中，光线泄漏的主要因素是交点处缺乏包层，因此约70%的泄漏发生在交点处，如图9所示。相比之下，在GI芯交叉波导中，超过90%的光线泄漏出现在直行区域。大多数光线在直行区域的GI芯中以准正弦轨迹传播。当它们进入具有均匀折射率的交点后，便沿直线路径传播。随后，光线再次进入GI直行区域，如图3(b)所示。在此过程中，由于直线传播，光线从交点射出的位置相对于其进入交点的位置略有偏移。这种偏移相当于对交点附近的GI芯产生偏移注入，使得光线转换为不同阶数的模式。因此，具有平坦折射率的交点在GI芯交叉波导中起到了模式转换器的作用。本文重点关注最初以低阶模式进入波导的光线。在多次通过交点后，该光线被转换为高阶模式。即使经过这些交点后，由于GI芯中独特的光线传播方向，大多数光线仍可再次进入下一个直行区域。

在第2.1节中已作解释。然而，对于传播模式而言，光线不再以入射角进入，最终从纤芯泄漏出去。这就是大多数在GI芯中的光线在直行区域发生泄漏的原因。因此，如果交叉区域具有GI剖面，从而抑制模式转换，则可实现更低的交叉损耗。

此外，这种在GI芯中非常特殊的光线泄漏机制可能是图4中观察到周期性突增损耗的原因之一。尽管程序中注入光线的入射角和强度是随机设定的，但随机数未必完全随机，因此光线可被划分为“模式组”，同一模式组中的光线在经过一定数量的交叉结构后会同时发生泄漏，导致损耗突然增加。在图2所示的梯度折射率交叉波导的实验测量交叉损耗中，并不一定能观察到这种周期性的损耗增量。因此，在实际波导样品中，交点处采用均匀折射率的假设并不准确，应对交点处的折射率分布进行更详细的评估。

3.6 交叉角依赖性

对于O‐PCB应用，除了正交交叉波导外，还需要更灵活的波导结构，这意味着纤芯的交叉角度不限于90°。随着交叉角度减小，光线更容易发生泄漏。因此，计算了波导损耗对交叉角度的依赖性。图10显示了每次交叉的平均波导损耗与交叉角度之间的关系。平均波导损耗由50次交叉后交叉波导的累积损耗得出。我们观察到一个非常有趣的结果：即使交叉角度小于90°，在较宽范围的交叉角度下，GI芯中的光泄漏也明显低于 SI芯。在上一节中提到，为了实现足够低的交叉损耗，特别是在正交交叉波导中，需要折射率指数小于5。然而，当$p = q = 5$及以上时，交叉角度依赖性较大；而在折射率指数较小的波导中，在90°交叉角下的低交叉损耗可在宽泛的交叉角度范围内（低至50°）保持稳定。因此，确认了GI芯交叉波导在降低交叉损耗方面具有显著优势。特别是折射率分布接近抛物线形状（$p = q = 2$）的GI芯波导，在多种交叉结构中均具有显著降低损耗的优势。

4. 结论

本文中，我们利用光线追踪法设计了多模交叉波导的折射率分布，以实现低交叉损耗。GI芯的强光限制效应使得由于纤芯交叉引起的额外光损耗显著降低，相较于SI‐芯结构（50次交叉时从2.58分贝降至0.072分贝，分别对应每次交叉0.05分贝和0.0015分贝），即使在交点处的折射率分布并非GI结构而是阶跃折射率分布亦能实现该效果。研究还发现，在SI芯交叉波导中，光线主要在交点处因缺乏包层而泄漏。相比之下，进入GI芯交叉波导的光线基本被限制在纤芯中，仅有少量光线在交点处泄漏。特别是当交点具有均匀折射率（SI分布）时，该交点起到模式转换器的作用：传播模式（光线）在经过若干次交叉后被转换为泄漏模式（光线）。

为了实现超低损耗交叉波导，接近抛物线形状的GI剖面是一种理想的分布。因此，GI芯多模波导将为高带宽密度的板上光互连铺平道路。