68、0L、DT0L和T0L系统的无限性与有界性

0L、DT0L和T0L系统的无限性与有界性

在形式语言理论中，0L、DT0L和T0L系统是重要的研究对象，本文将深入探讨这些系统的无限性和有界性相关内容。

系统无限性判定

• T0L系统 ：一个T0L系统是无限的，当且仅当它是可抽取的（pumpable）。这一结论直接由引理1和引理2得出。
• 0L系统 ：对于0L系统$G = (A, σ, w)$，它是无限的当且仅当存在$x, y \in A$，满足：
  1. 存在$s \in L(G)$包含$x$；
  2. 存在$i \geq 0$，使得$σ^i(x)$包含一个包含不同出现的$x$和$y$的字符串，且$σ^i(y)$包含一个包含$y$的字符串。
• DT0L系统 ：对于DT0L系统$G = (A, H, w)$，它是无限的当且仅当存在$x, y \in A$，满足：
  1. 存在$s \in L(G)$包含$x$；
  2. 存在$H$中态射的某个组合$h$，使得$h(x)$包含不同出现的$x$和$y$，且$h(y)$包含$y$。
• T0L语言的D0L子集 ：每个无限的T0L语言都有一个无限的D0L子集。证明过程如下：取任意无限的T0L语言$L$，其T0L系统为$G = (A, T, w)$。由上述T0L系统无限性定理可知$G$是可抽取的。设$h$是$A$上的一个态射，使得$h(x) = s_1