信号与系统复习笔记——拉普拉斯变换和Z变换

信号与系统复习笔记——拉普拉斯变换和Z变换

拉普拉斯变换

一个LTI系统对信号 $e^{st}$ 的响应为：

$$y(t)=H(s)e^{st}$$

其中特征函数 $H(s)$ 为：

$$H(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t)e^{-st}dt$$

一个信号的拉普拉斯变换为：

$$X(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t)e^{-st}dt$$

当 $s=j\omega$ 的时候，拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。

复数 $s$ 可以表示为 $s=\sigma +j\omega$ ，那么拉普拉斯变换可以表示为：

$$X(\sigma +j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\omega t}dt$$

这等于信号 $x(t)e^{-\sigma t}$ 的傅里叶变换，我们称 $e^{-\sigma t}$ 为拉普拉斯衰减因子。

注意到，一个信号的拉普拉斯变换并非对于所有的 $s$ 都收敛，我们称能使拉普拉斯变换积分收敛的所有 $s$ 的集合称为 收敛域 或是 ROC。

对于有理的拉普拉斯变换可以表示为：

$$X(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$$

我们称 $N(s)=0$ 的根称为 零点 而 $D(s)=0$ 的根称为 极点 。在 $s$ 平面内标注零点和极点称为零-极点图。

拉普拉斯变换的收敛域

两个不同的信号可能对应一个相同的拉普拉斯变换，但其收敛域却不相同。

性质一： $X(s)$ 的收敛域在 $s$ 平面内由平行于 $j\omega$ 轴的带状区域组成。

因为要满足 $x(t)e^{-\sigma t}$ 绝对可积，因此只和 $\sigma$ 有关。

性质二： $X(s)$ 的收敛域内不包含极点。

性质三： 若 $x(t)$ 是时间有限且有界的信号，那么收敛域就是整个 $s$ 平面。

性质四： 若 $x(t)$ 是右边信号，并且 $\Re s={\omega }_0$ 这条线位于收敛域内，那么 $\Re s>{\omega }_0$ 的全部 $s$ 值都在收敛域内。

进一步，若点 $s_0$ 在收敛域内，那么点 $s_0$ 的 右半平面 收敛。

性质五： 若 $x(t)$ 是左边信号，并且 $\Re s={\omega }_0$ 这条线位于收敛域内，那么 $\Re s<{\omega }_0$ 的全部 $s$ 值都在收敛域内。

进一步，若点 $s_0$ 在收敛域内，那么点 $s_0$ 的 左半平面 收敛。

性质六： 若 $x(t)$ 是双边信号，并且存在收敛域，那么收敛域一定是一条带状区域。

因为收敛域内不存在极点，推出下面两个推论：

性质七： 若 $x(t)$ 的拉普拉斯变换是有理的，那么他的收敛域总是被极点所界定或延伸到无限远处。另外，在收敛域内不包含任何的极点。

性质八： 若 $x(t)$ 的拉普拉斯变换是有理的，那么若 $x(t)$ 是右边信号，其收敛域在 $s$ 平面上位于最右边极点的右边，若 $x(t)$ 是左边信号，其收敛域在 $s$ 平面上位于最左边极点的左边。

拉普拉斯逆变换

通过傅里叶的逆变换我们可以得到：

$$x(t)e^{-\sigma t}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(\sigma +j\omega )e^{j\omega t}d\omega$$

得到：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(\sigma +j\omega )e^{(\sigma +j\omega )t}d\omega$$

令 $s=\sigma +j\omega$ 则 $\omega =(s-\sigma )/j$ 那么 $d\omega =\frac{1}{j}ds$ 导出为：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }X(s)e^{st}ds$$

上式称为拉普拉斯逆变换，积分区域可以找在收敛域内的任意一条直线 $\Re s=\sigma$ 。

利用零极点图对傅里叶变换进行几何求解

对于一个有理拉普拉斯的形式，可以表示为零点项和极点项的乘积所组成的：

$$X(s)=M\frac{{\prod }_{i=1}^R(s-{\beta }_i)}{{\prod }_{j=1}^P(s-{\alpha }_j)}$$

为了求取 $X(s)$ 在 $s=s_1$ 处的值，上面每一项都可以表示为零点极点到点 $s_1$ 的向量表示，模长就是零点向量长度的乘积除以极点向量的乘积再乘以 $M$ ，而辐角就是零点向量的辐角和减去极点向量的辐角，若 $M$ 是负的则还要加一个附加辐角 $\pi$ 。

特别的，傅里叶变换即在轴 $\sigma =0$ 处移动。

拉普拉斯变换的性质

性质	信号	拉普拉斯变换	收敛域
线性	$a{x}_1(t)+b{x}_2(t)$	$x{X}_1(s)+b{X}_2(s)$	至少是 $R_1\cap R_2$
时移	$x(t-t_0)$	$e^{-s{t}_0}X(s)$	$R$
$s$ 域平移	$e^{s_{0}t}x(t)$	$X(s-s_0)$	$R+\Re s_0$
时域尺度变换	$x(at)$	$\frac{1}{|a|}X(\frac{s}{a})$	$\frac{R}{a}$
共轭	$x^{\ast }(t)$	$X^{\ast }(s^{\ast })$	$R$
卷积	$x_1(t)\ast x_2(t)$	$X_1(s)X_2(s)$	至少是 $R_1\cap R_2$
时域微分	$\frac{dx(t)}{dt}$	$sX(s)$	至少是 $R$
$s$ 域微分	$-tx(t)$	$\frac{dX(s)}{s}$	$R$
时域积分	${\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$	$\frac{1}{s}X(s)$	至少是 R∩{ℜs>0}R \cap \{\Re{s} > 0\}R∩{ℜs>0}

初值和终值定理：

若 $t<0,x(t)=0$ 且在 $x(0)$ 处不包含任何的冲激和高阶的奇异函数，则：

$$x(0^{+})=\underset{s\to \infty }{\lim }sX(s)$$

$$\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sX(s)$$

常用拉普拉斯变换对

信号	变换	收敛域
$\delta (t)$	$1$	全部 $s$
$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$\Re s>0$
$-u(-t)$	$\frac{1}{s}$	$\Re s<0$
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t)$	$\frac{1}{s^n}$	$\Re s>0$
$-\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(-t)$	$\frac{1}{s^n}$	$\Re s<0$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{s+a}$	$\Re s>-a$
$-e^{-at}u(-t)$	$\frac{1}{s+a}$	$\Re s<-a$
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{-at}u(t)$	$\frac{1}{(s+a{)}^n}$	$\Re s>-a$
$-\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{-at}u(-t)$	$\frac{1}{(s+a{)}^n}$	$\Re s<-a$
$\delta (t-T)$	$e^{-sT}$	全部$s$
$[\cos {\omega }_{0}t]u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }_0^2}$	$\Re s>0$
$[\sin {\omega }_{0}t]u(t)$	$\frac{{\omega }_0}{s^2+{\omega }_0^2}$	$\Re s>0$
$[e^{-at}\cos {\omega }_{0}t]u(t)$	$\frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }_0^2}$	$\Re s>-a$
$[e^{-at}\sin {\omega }_{0}t]u(t)$	$\frac{{\omega }_0}{(s+a{)}^2+{\omega }_0^2}$	$\Re s>-a$
$u_n(t)=\frac{d^n\delta (t)}{d{t}^n}$	$s^n$	全部 $s$
$u_{-n}(t)=u(t)\ast u(t)\ast {\dots }_n$	$\frac{1}{s^n}$	$\Re s>0$

拉普拉斯变换分析线性时不变系统

一个LTI系统和拉普拉斯变换的关系直接来自于卷积的性质：

$$Y(s)=H(s)X(s)$$

其中 $H(s)$ 称为系统函数、传递函数。

1. 因果性

一个因果的LTI的单位冲激响应一定是一个右边信号，那么 $H(s)$ 的收敛域一定是一个右半平面。反之不一定成立。

对于一个有理的系统函数来说，系统的因果性就等效于收敛域位于最右边极点的右边的右半平面。

2. 稳定性

对于一个稳定的LTI系统，他的单位冲激响应是绝对可积的，也就等价于存在傅里叶变换，那么当且仅当系统函数 $H(s)$ 的收敛域包括 $j\omega$ 轴的时候，即 $\Re s=0$ ，一个LTI系统是稳定的。

特别的，对于因果的LTI系统，其收敛域是右半平面，也就是当且仅当 $H(s)$ 的全部极点都位于 $s$ 平面的左半平面的时候，即全部的极点都有负实部的时候，一个因果的LTI系统是稳定的。

Z 变换

对于离散信号，其单位脉冲响应对于离散的线性时不变系统对复指数 $z^n$ 的响应为：

$$y[n]=H(z)z^n$$

其中：

$$H(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }h[n]z^{-n}$$

若 $z=e^{j\omega }$ 则为离散傅里叶变换。

一个离散信号的z变换定义为：

$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]z^{-n}$$

一般的我们通过指数形式表示复指数底数 $z=r{e}^{j\omega }$ ，那么就可以写成：

$$X(r{e}^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }[x[n]r^{-n}]e^{-j\omega n}$$

也就是一个离散信号的z变换等于其 $x[n]r^{-n}$ 的离散傅里叶变换。

注意到：

$$X(e^{j\omega })=X(z){|}_{z=e^{j\omega }}$$

那么傅里叶变换就称为在复数 $z$ 平面中，半径为 $1$ 的单位圆上。

同样的，类似与拉普拉斯变换，z变换也存在其收敛域ROC。