53、对称差非确定有限自动机计数研究

对称差非确定有限自动机计数研究

在自动机理论领域，Z₂ - NFA（对称差非确定有限自动机）是一个有趣的研究对象。它在语言识别和表示方面有着独特的性质，与常见的 NFA（非确定有限自动机）和 DFA（确定有限自动机）有着密切的联系。接下来，我们将深入探讨 Z₂ - NFA 的相关特性、定义以及它在一元正则语言计数方面的重要结果。

1. Z₂ - NFA 与 DFA 的对比及优势

与常见的 NFA 不同，NFA 的最小化问题是 PSPACE 完全的，而 Z₂ - NFA 可以在立方时间内完成最小化，具体时间复杂度为 (O(|\Sigma|n^3))，其中 (\Sigma) 是输入字母表，(n) 是 Z₂ - NFA 的状态数。这使得 Z₂ - NFA 在处理大规模问题时具有更高的效率。

此外，最小 Z₂ - NFA 与最小 DFA 紧密相关。当对最小 Z₂ - NFA 进行确定化时，可以得到最小 DFA。因此，最小 Z₂ - NFA 可以被视为最小 DFA 的紧凑表示。在 Angluin 学习的背景下，最小 Z₂ - NFA 与最小 DFA 一样，可以在多项式时间内被学习，而 NFA 可能不具备这一特性。这表明从 Angluin 学习的角度来看，Z₂ - NFA 在语言表示上可能比 DFA 更加简洁。

在一元正则语言的识别方面，n 状态最小 Z₂ - NFA 能识别的不同一元正则字符串语言的数量恰好为 (2^{2n - 1})，这意味着 n 状态最小 Z₂ - NFA 渐近地比 n 状态最小 DFA 多识别 (2^n / n) 倍的语言。同时，n 状态（不一定是最小的）Z₂ - NFA 能识别的非空一元正则语言的数量为 (\frac{1}{3}(2^{2n +