54、可互换变量和值的对称性破缺

可互换变量和值的对称性破缺

1. 引言

在解决诸如员工排班等复杂的现实问题时，对称性可能会极大地增加搜索空间的大小。处理对称性的一种简单有效的方法是添加静态对称性破缺约束来消除对称解，或者修改搜索过程，避免探索对称分支。然而，一般情况下，消除所有对称解是NP难的，即使能在多项式时间内消除所有对称解，修剪所有对称值也可能是NP难的。解决这个问题的一种方法是为特殊类型的对称性开发多项式方法。

常见的一种对称性是变量和/或值可互换。例如，在图着色问题中，给节点（变量）分配颜色（值）时，颜色是完全可互换的，即可以在解中交换颜色，仍然得到一个有效的着色。同样，变量也可能是可互换的，比如两个节点有相同的邻居集时，交换它们也能保持有效的着色。这种情况被称为变量和值的可互换性，也被称为分段对称性和结构对称性。

2. 背景

• 约束满足问题（CSP） ：由一组n个变量组成，每个变量有一个有限的可能值的域，以及一组约束，规定了给定变量子集的允许值组合。
• 常见全局约束 ：
  • AMONG([X1, .., Xn], v, M) ：当且仅当从X1到Xn中有M个变量的值在集合v中时成立。
  • GCC([X1, .., Xn], [d1, .., dm], [O1, .., Om]) ：当且仅当从X1到Xn中有Oj个变量的值为dj时成立。如果所有的Oj ≤ 1，则没有值出现超过一次，即全不同约束。
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