54、可互换变量和值的对称性打破

可互换变量和值的对称性打破

1. 引言

在解决像员工排班这样的复杂现实问题时，对称性可能会极大地增加搜索空间的大小。处理对称性的一种简单有效的机制是添加静态对称性打破约束来消除对称解。另一种方法是修改搜索过程，使对称分支不被探索。然而，一般情况下消除所有对称解是NP难的，即使在某些情况下可以在多项式时间内消除所有对称解，修剪所有对称值也可能是NP难的。

一种常见的对称性类型是变量和/或值可互换。例如，在图着色问题中，为节点（变量）分配颜色（值）时，颜色是完全可互换的，即可以在解中交换颜色，仍然得到一个有效的着色。同样，变量也可能是可互换的，如两个节点有相同的邻居集合时，交换它们也能保持有效的着色，这被称为变量和值的可互换性。

近期研究表明，可以在多项式时间内消除由于变量和值可互换性导致的所有对称解。本文提出使用线性数量的新约束SIGLEX来打破这种对称性，其传播器基于使用REGULAR约束的分解。

2. 背景

• 约束满足问题（CSP） ：由一组有限域变量和一组约束组成，约束限制了变量取值的组合。假设变量初始共享相同的可能值域，每个有限域变量从该值域中取一个值。解是满足所有约束的变量赋值。

• 常见全局约束 ：

  • AMONG([X1, .., Xn], v, M) ：表示X1到Xn中有M个变量取值在集合v中。
  • GCC([X1, .., Xn], [d1, .., dm], [O1, .., Om]) <