15、表示有限序列函数的无歧义自动机

表示有限序列函数的无歧义自动机

1. 预备知识

形式上，在半环 $K = \langle K, +, \cdot, 1_K, 0_K\rangle$ 上的加权有限自动机（wfa）是一个五元组 $A = \langle Q, \Sigma, \lambda, \mu, \gamma\rangle$，其中：
- $\Sigma$ 是一个有限字母表。
- $Q$ 是一个称为状态的有限集合。
- $\lambda, \gamma \in K^Q$。
- $\mu : \Sigma^* \to K^{Q\times Q}$ 是一个到 $K$ 上 $Q\times Q$ 矩阵半环的同态。

若 $\lambda[q] \neq 0_K$，则状态 $q \in Q$ 称为初始状态；若 $\gamma[q] \neq 0_K$，则称为最终状态。

若 $\mu(a)[p, q] = l$，则四元组 $(p, a, l, q) \in Q \times \Sigma \times K \times Q$ 是 wfa $A$ 的一个转移。$A$ 中长度为 $k$ 的路径 $\pi$ 是一个转移序列 $t_1t_2 \cdots t_k$，其中 $t_i = (q_{i - 1}, a_i, l_i, q_i)$。单词 $a_1a_2 \cdots a_k$ 是 $\pi$ 的标签，记为 $label(\pi)$。若 $t_1$ 的第一个状态是初始状态，$t_k$ 的最后一个状态是接受状态，且对于 $i \in [k]$ 有 $l_i \neq 0_K$，则路径 $\pi = t_1t_2 \cdots t_k$ 是接受路径。若存在一个以 $w$ 为标签的接受路径，