19、非确定有限自动机基本操作的状态复杂度

非确定有限自动机基本操作的状态复杂度

1. 引言

非确定有限自动机（NFA）在描述复杂性理论中是一个重要的研究对象。非确定性的程度对某些设备的能力和局限性的影响是一个关键问题。研究NFA基本操作的状态复杂度，有助于深入理解非确定性、歧义性与有限自动机能力之间的关系。

2. 预备知识

2.1 符号表示

• 集合 $S$ 的幂集表示为 $2^S$。
• 空字表示为 $\lambda$，字 $w$ 的反转表示为 $w^R$，字 $w$ 的长度表示为 $|w|$。
• 符号 $a$ 在字 $w$ 中出现的次数表示为 $#_a(w)$。

2.2 非确定有限自动机定义

一个非确定有限自动机（NFA）是一个五元组 $\langle S, A, \delta, s_0, F \rangle$，其中：
- $S$ 是有限的内部状态集合。
- $A$ 是有限的输入符号集合。
- $s_0 \in S$ 是初始状态。
- $F \subseteq S$ 是接受（或最终）状态集合。
- $\delta : S \times A \to 2^S$ 是转移函数。

拒绝状态集合隐式地由划分 $S \setminus F$ 给出。通常假设NFA是约简的，即没有不可达状态，且从任何状态都能到达一个最终状态。如果NFA的状态数相对于所接受的语言是最小的，则称其为最小NFA。由于每个带 $\lambda$ - 转移的 $n$ 状态NFA都可以转换为一个等价的不带 $\lambda$ - 转移的 $n$ 状态NFA，为方便起见，只考虑不