8、幂级数与均匀细胞自动机在随机序列生成中的进展

幂级数与均匀细胞自动机在随机序列生成中的进展

1. 幂级数相关理论

在研究幂级数时，有一个重要的结论：如果半环 (S) 是有序的，并且对于所有 (a_1, a_2, b_1, b_2 \in S)，满足 (a_1 + a_2 = b_1 + b_2)，(a_1 \geq b_1)，(a_2 \geq b_2) 能推出 (a_1 = b_1)，(a_2 = b_2) 这个条件，那么在某些定理证明中，(R \subseteq N_{rat}\langle\langle M \rangle\rangle) 可以被 (R \subseteq S_{rat}\langle\langle M \rangle\rangle) 所替代。需要注意的是，非平凡的完全有序半环不满足这个条件，而半环 (Q^+) 和 (R^+) 满足该条件。

有这样一个定理：设 (\Sigma) 是一个字母表，(r \in Q_{rat}^+ \langle\langle \Sigma^ \rangle\rangle) 且对于所有 (w \in \Sigma^ ) 有 ((r, w) \leq 1)，那么判断 (r) 是否无歧义是可判定的。证明过程如下：因为对于所有 (w \in \Sigma^ ) 都有 ((r, w) \leq 1)，所以 (r \odot r \leq r)。又因为 (Q_{rat}^+ \langle\langle \Sigma^ \rangle\rangle) 在哈达玛积下是封闭的，通过相关推论和定理可以判定 (r \odot r = r) 是否成立，而 (r \odot r = r) 当且仅当对于所有 (w \in \Sigma^*) 有 ((r, w) \in {0,