18、并行 MRI 中的多滤波器校准与小波正则化参数自适应

并行 MRI 中的多滤波器校准与小波正则化参数自适应

1. 多滤波器校准中解的稳定性分析

在并行 MRI 的多滤波器校准过程中，由于噪声的存在会对解产生扰动，我们可以通过连续两个扰动水平下解的差异范数来分析解的稳定性。设连续两个扰动水平 (t_1) 和 (t_2) 对应的解分别为 (z_{t_1}) 和 (z_{t_2})，相对于初始解的解差异范数可以表示为：
[
\frac{z_{t_1}-z_{t_2}}{z_0} = \left(\frac{z_{t_1}}{z_0}\right) - \left(\frac{z_{t_2}}{z_0}\right) \quad (4.22)
]
根据三角不等式原理，有：
[
\frac{z_{t_1}-z_{t_2}}{z_0} \leq \frac{z_{t_1}-z_0}{z_0} + \frac{z_{t_2}-z_0}{z_0} \quad (4.23)
]
利用相关定理，在扰动水平 (t_1) 时，有：
[
\frac{z_0 - z_{t_1}}{z_1} \leq \frac{k_1}{t_1 - t_1’} f\left(\frac{t_1}{t_1’}\right) \Pi^{\check{u}} \quad (4.24)
]
其中 (f(\cdot)) 表示关于自变量的单调递增函数。同理，在扰动水平 (t_2) 时，有：
[
\frac{z_0 - z_{t_2}}{z_2} \leq \frac{k_2}{t_2 - t_2’} f\left(\frac{t_2}{t_2’}\right) \Pi^{\check{u}