11、磁共振图像重建的正则化技术

磁共振图像重建的正则化技术

1. 稀疏约束与修改后的代价函数

在磁共振（MR）图像重建中，稀疏约束可被纳入代价函数，得到如下修改后的代价函数：
[
\min \sum_{i} \left( \left| k_{i}^{NC} - k_{i}^{D} \right|^{2} + \gamma \left| k_{i}^{Z} - k_{i}^{I} \right|^{2} + R(k_{i}) \right)
]
其中，参数 $\gamma$ 用于平衡两种一致性约束。较大的 $\gamma$ 值强调更高的校准一致性，较小的值则强调更高的数据一致性。$R(k)$ 是一个惩罚函数，它融入了关于 $k$ 空间或图像的先验知识。

不同的惩罚函数可应用于 SPIRiT 公式，具体如下：
| 惩罚函数类型 | 表达式 | 正则化类型 |
| — | — | — |
| Tikhonov | $R(k) = | k |^{2}$ | $l_2$ 范数正则化 |
| 加权 Tikhonov | $R(k) = W | k |^{2}$ | $l_2$ 范数正则化 |
| TV | $R(k) = \Delta \text{IFFT}(k)$ | $l_1$ 范数正则化 |
| 基于小波 | $R(k) = \Psi \text{IFFT}(k)$ | $l_1$ 范数正则化 |

后两种基于 $l_1$ 范数正则化的变体被称为 L1 - SPIRiT（基于 $l_1$ 范数的任意 $k$ 空间迭代自洽并行成像重建）。

2. 压缩感知 MRI（CSMRI）的正则化

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