11、灵敏度分析与对偶理论详解

灵敏度分析与对偶理论详解

1. 引言

线性规划是一种用于解决多标准决策问题的运筹学技术，重点在于找到最大化或最小化的最优解。不过在实际应用中，将实时问题转化为小规模模型，再把模型的解推广到实际问题时，常出现不匹配的情况，导致最优解错误，需重新开始。

因此，一方面要尽可能全面地考虑影响目标函数的所有变量来构建模型；另一方面，决策者不应追求完美的单一解，而应寻找“足够好”的解，以满足多个标准并实现长期目标。

为了找到接近实际问题的解，后最优分析变得至关重要。“假设分析”是一种建设性的后最优方法，它能考虑未来条件变化或增加约束时最优解的变化，为管理者提供多种替代方案。

另一种重要的后最优分析是“灵敏度分析”，它能从众多影响目标函数的参数中识别出敏感参数。敏感参数是那些改变其值会导致最优解改变的参数。识别这些参数很关键，因为决策者需更精准地估计它们。灵敏度分析有助于找出每个敏感参数的值的范围，从而选择使解更优的参数组合。

例如，在选址分析中，商店经理要从多个地点中选一个开设新店，决策取决于商店的销售表现。线性规划技术可构建模型以实现销售最大化，灵敏度分析能找出敏感参数及其取值范围，确保解的最优性和可行性。

后最优分析还能提供一系列越来越好的解，在这个过程中识别目标函数和约束函数参数的不足，帮助管理者改进，直到改进微小到无需投入宝贵资源。灵敏度分析可检验每个解的有效性。

此外，每个线性规划问题都有其对偶问题，对偶问题的最优解能揭示原问题解可行的参数值，这与灵敏度分析密切相关。可行解需满足所有约束条件，而最优解是在可行解中实现目标（如成本最小化或利润最大化）的解，对偶理论通过对原问题进行灵敏度分析来提供最优解。