运筹学基础（五）：对偶问题及其性质

喃喃

本意是要写一篇列生成的文章，但列生成的必要知识储备是单纯形法和对偶理论，隐约记得一些，但是又不太熟悉了… 没办法，先梳理了两篇关于单纯形法的文章，今天再梳理一下对偶问题，然后再进入列生成。

一个例子理解对偶问题

某工厂用4种资源生产3种产品，其价值系数和资源限量如下表所示：

问题一：工厂如何安排生产可以使得利润最大？

问题二：如果有一家公司想要购买该工厂的资源，那么怎么给资源定价才是合理/可接受的呢？

什么叫做可接受的价格呢？对于工厂而言，售卖资源带来的利润一定要不低于售卖产品带来的利润，才会愿意售卖资源而不是加工产品。因此，这是该决策的约束。

对于想买资源的公司来说，当然希望最小化购买的成本，因此，这是该决策的目标。

工厂愿意出售资源的价格，也称为影子价格，又称为对偶价格。它反映了资源最优使用效果的价值。

对偶问题怎么写

总结

实践

注意：例题1里面的原问题是$max$，对偶问题是$min$，例题2反过来了。

核心点：

1. 对偶问题max约束的符号，与原问题变量的符号相反（=和无约束互反）；
2. 对偶问题max变量的符号，与原问题约束的符号相同。

$$\begin{gathered} max{z}^{\prime }=5y_1+4y_2+6y_3 \\ {y}_1+2y_2\ge 2 \\ {y}_1+ \end{gathered}$$