3、态射的交替迭代与科拉科夫斯基序列

态射的交替迭代与科拉科夫斯基序列

1. 引言

林登迈尔系统的一个重要应用是使用确定性系统（特别是 DOL 系统）来生成无限字。生成这些无限字有两种机制：一是对满足 “a 是 h(a) 的前缀” 的字母 a 迭代应用（非擦除）态射 h；二是以 TAG 方式对 a 迭代应用 h。这两种机制并非新事物，前者在本世纪初就被图厄使用，后者在 20 世纪 20 年代由波斯特引入，但直到约 15 年前，在贝尔斯泰尔的推动下才广为人知且流行起来，部分原因是它们在计算机图形学中很有用。

态射迭代是生成无限字的简单机制，虽能生成复杂的无限字（如图厄 - 摩尔斯字或斐波那契字），但人们自然也在寻找更复杂的机制。确定性广义顺序机（dgsm）的迭代就是这样一种方法，但它过于强大，很难给出具体的无限字例子，证明其无法通过这种方法获得。文献中引入了一种介于两者之间的情况，即有限个态射的交替迭代，并提出了统一处理这些不同机制的方法。

这种交替迭代机制是这样的：设 p 为自然数，$h_i$（$i = 0, \cdots, p - 1$）是自由幺半群 $\Sigma^*$ 的态射，在每次迭代中，第 i（模 p）个字母由 $h_i$ 重写。这是态射迭代的自然且恰当扩展，同时也是 dgsm 迭代的恰当限制。在文献中，这种新机制的系统被称为具有周期控制的 DOL TAG 系统，生成的字被称为具有周期控制的 DOL TAG 字。

很容易看出，存在具有周期控制的无限 DOL TAG 字不是 DOL 字（即通过态射迭代生成的字）。文献中还证明了，存在通过 dgsm 迭代得到的无限字不是具有周期控制的 DOL TAG 字。本文将进一步研究具有周期控制的 DOL TAG 字，研究几个这样的字，并通过展示这些特定