28、Dyck 单词、模式避免与自动序列研究

Dyck 单词、模式避免与自动序列研究

1. 引言

在二进制序列的研究中，Dyck 单词是一个重要的概念。我们将集合 $\Sigma_k$ 定义为 ${0, 1, \ldots, k - 1}$，当 $x$ 是有限二进制单词（即 $x \in \Sigma_2^*$）时，如果把 0 看作左括号，1 看作右括号，且该单词代表一组平衡的括号，那么它就是一个 Dyck 单词。例如，010011 是 Dyck 单词，而 0110 不是。形式上，空单词是 Dyck 单词，或者若存在 Dyck 单词 $y$ 和 $z$，使得 $x = 0y1$ 或 $x = yz$，则 $x$ 是 Dyck 单词。所有 Dyck 单词构成的集合称为 Dyck 语言，记为 $D_2$。

Dyck 单词的嵌套级别 $N(x)$ 表示其括号嵌套的最深层次。具体来说，$N(\epsilon) = 0$，$N(0y1) = N(y) + 1$，若 $y$ 和 $z$ 是 Dyck 单词，$N(yz) = \max(N(y), N(z))$。Dyck 属性和嵌套级别与平衡函数 $B(x) = |x|_0 - |x|_1$ 密切相关，一个单词是 Dyck 单词当且仅当 $B(x) = 0$ 且对于 $x$ 的每个前缀 $x’$ 都有 $B(x’) \geq 0$，并且 Dyck 单词 $x$ 的嵌套级别是所有前缀 $x’$ 上 $B(x’)$ 的最大值。

在模式避免方面，我们关注单词中幂的避免情况。对于有限单词 $w = w[1..n]$，若对于所有满足 $1 \leq i \leq n - p$ 的索引 $i$ 都有 $w[i] = w[i + p]$，则称 $w$ 具有周期 $p \geq 1$，$w$ 的最小周期记