35、混合自动序列与DFA问题的多元分析

混合自动序列与DFA问题的多元分析

在计算科学领域，序列和自动机是两个重要的研究对象。本文将深入探讨混合自动序列的子词复杂度，以及确定性有限自动机（DFA）相关的两个NP难题的多元分析。

混合自动序列的子词复杂度

混合自动序列是自动序列的自然扩展。自动序列由确定有限自动机（DFA）生成，而混合自动序列则由具有状态依赖输入字母表的DFA生成。这些自动机读取数字表示 $d_n d_{n - 1} \cdots d_0$，其中数字 $d_k$ 的基数取决于较低有效数字 $d_{k - 1} \cdots d_0$ 的值。

对于任意多项式 $\phi$，都存在一个子词复杂度超过 $\phi$ 的混合自动序列。这表明存在不是形态序列的混合自动序列，回答了相关问题。

对于素数 $p$ 和正整数 $n$，用 $\nu_p(n)$ 表示 $n$ 的 $p$-进赋值，即最大的整数 $k$ 使得 $p^k$ 整除 $n$。对于每个素数 $p$，定义序列 $\gamma_p \in {0, 1}^\omega$ 为：
$\gamma_p = (\nu_p(1) \bmod 2) (\nu_p(2) \bmod 2) (\nu_p(3) \bmod 2) \cdots$

序列 $\gamma_2$ 是著名的周期加倍序列：
$\gamma_2 = 010001010100010001000101010001010100010101000100010001010100 \cdots$

下面是关于这些序列的一些重要引理：
- 引理16 ：对于每个素数 $p$，序列 $\gamma_p$ 的子