[51nod1239]欧拉函数之和

最新推荐文章于 2020-04-23 22:07:05 发布

alan_cty

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分类专栏：数论莫比乌斯反演欧拉函数暴力分块文章标签： 51nod1239 欧拉函数之和欧拉函数前缀和分块

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本文介绍了一种高效的算法来求解∑i=1nφ(i)，利用数学推导简化计算过程，并提供了一段C++代码实现。核心思想在于将问题转化为求1到n内两两互质数对的数量，并使用了莫比乌斯函数和反演技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求

\sum i = 1 n φ (i)

$\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$
n<=10^10

Solution

这道题和莫比乌斯函数一行，都可以通过神奇的推导的出结论。
我们设

ϕ (n) = \sum i = 1 n φ (i)

$\phi(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$
众所周知，

\sum d | n φ (d) = n

$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$
那么，

φ (n) = n - \sum d | n, d < n φ (d)

$\varphi(n)=n-\sum_{d|n,d<n}\varphi(d)$
于是

ϕ (n) = \sum i = 1 n (i - \sum d | i, d < i φ (d))

$\phi(n)=\sum_{i=1}^{n}(i-\sum_{d|i,d<i}\varphi(d))$

ϕ (n) = n * ( n + 1 ) 2 - \sum i = 2 n \sum d | i, d < i φ (d)

$\phi(n)={n*(n+1)\over 2}-\sum_{i=2}^{n}\sum_{d|i,d<i}\varphi(d)$

ϕ (n) = n * ( n + 1 ) 2 - \sum i d = 2 n \sum d = 1 ⌊ n i d ⌋ φ (d)

$\phi(n)={n*(n+1)\over 2}-\sum_{{i\over d}=2}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor {n\over {i\over d}}\rfloor}\varphi(d)$

ϕ (n) = n * ( n + 1 ) 2 - \sum i = 2 n \sum d = 1 ⌊ n i ⌋ φ (d)

$\phi(n)={n*(n+1)\over 2}-\sum_{i=2}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor {n\over i}\rfloor}\varphi(d)$

ϕ (n) = n * ( n + 1 ) 2 - \sum i = 2 n ϕ (⌊ n i ⌋)

$\phi(n)={n*(n+1)\over 2}-\sum_{i=2}^{n}\phi(\lfloor{n\over i}\rfloor)$
于是和那道题一样做就好了。

还有一种做法。
这个问题的本质就是1~n中两两互质的数的对数。
那么我们可以用反演搞出来一个式子

A n s = \sum i = 1 n μ (i) ⌊ n i ⌋ 2

$Ans=\sum_{i=1}^{n}\mu(i){\lfloor{n\over i}\rfloor}^2$
然后就分块搞就行了。
不过还是需要莫比乌斯函数前缀和。
参照 51nod1244

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])
#define N 5000000
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Mo=1000000007;
const int mo=2333333;
const int ni=500000004;
int phi[N+5],p[N+5],l;
int last[mo],next[mo];
bool bz[N+5];
ll n,t[mo],v[mo];
void add(int x,ll y,ll z) {
    t[++l]=y;v[l]=z;next[l]=last[x];last[x]=l;
}
ll calc(ll x) {
    if (x<=N) return phi[x];int k=x%mo;ll ans=0,z=x%Mo;
    rep(i,k) if (t[i]==x) return v[i];
    for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),(ans+=(r-l+1)%Mo*calc(x/l)%Mo)%=Mo;
    ans=(z*(z+1)%Mo*ni%Mo-ans+Mo)%Mo;
    add(k,x,ans);
    return ans;
}
int main() {
    fo(i,2,N) {
        if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;
        fo(j,1,p[0]) {
            int k=i*p[j];if (k>N) break;
            bz[k]=1;if (!(i%p[j])) {phi[k]=phi[i]*p[j];break;}
            phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    phi[1]=1;fo(i,1,N) (phi[i]+=phi[i-1])%=Mo;
    scanf("%lld",&n);printf("%lld",calc(n));
}