[51NOD1239]欧拉函数之和

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#OI #数论 #杜教筛 #51NOD

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欧拉函数

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本文介绍了一道关于杜教筛算法的应用题目，该算法用于高效计算欧拉函数的前缀和。通过恒等函数和单位函数的关系，给出了计算公式，并采用分段线筛和递推的方法实现了算法，最终的时间复杂度为O(n^2/3)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定 $n$ ，试求

\sum i = 1 n φ (i)

$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$

$2\le n\le10^{10}$

题目分析

杜教筛裸题。
令 $S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$ 。用恒等函数 $\mathbb1$ 卷上 $\varphi$ 函数得到单位函数 $\epsilon$ ，于是有：

S (n) = ( n + 1 ) n 2 - \sum i = 2 n S (⌊ n i ⌋)

$S(n)=\frac{(n+1)n}2-\sum_{i=2}^nS\left(\lfloor\frac n i\rfloor\right)$
然后按照

n23 $n^\frac23$ 分段，前面线筛后面递推即可。
时间复杂度

O(n23) $\mathrm O(n^\frac23)$ 。

代码实现

这个用记忆化实现的杜教筛比之前那个好看多了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int P=1000000007;
const int L=4641600;
const int N=100050;
const int itwo=500000004;

int pri[L],phi[L],sum[L],f[L];
bool mark[L];
bool vis[N];
int S[N];
int l,s;
LL n;

void pre()
{
    l=trunc(pow(n,2.0/3.0)),s=trunc(sqrt(n));
    mark[1]=1,phi[1]=1,sum[1]=f[1]=1;
    for (int i=2;i<=l;++i)
    {
        if (!mark[i]) pri[++pri[0]]=i,phi[i]=i-1,f[i]=i;
        for (int j=1,k;j<=pri[0];++j)
        {
            if (1ll*pri[j]*i>l) break;
            mark[k=pri[j]*i]=1,f[k]=pri[j];
            phi[k]=phi[i]*(pri[j]-(f[k]!=f[i]));
            if (!(i%pri[j])) break;
        }
        sum[i]=(sum[i-1]+phi[i])%P;
    }
}

int id(LL x){return n/x;}

int sieve(LL n)
{
    if (n<=l) return sum[n];
    int idn=id(n),res=1ll*(n%P)*((n+1)%P)%P*itwo%P;
    if (vis[idn]) return S[idn];
    for (LL st=2,en,x;st<=n;st=en)
    {
        x=n/st,en=n/x+1;
        res=(res-1ll*sieve(x)*(en-st)%P+P)%P;
    }
    return vis[idn]=1,S[idn]=res;
}

int main()
{
    freopen("phi.in","r",stdin),freopen("phi.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n),pre(),printf("%d\n",sieve(n));
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}