51NOD 1239 欧拉函数之和（杜教筛）

最新推荐文章于 2022-01-17 20:21:30 发布

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本文针对一个特定的数学问题进行了解析，通过分析phi函数的性质及其前缀和F(n)，采用线性筛选和记忆化搜索的方法实现了高效求解。文章详细介绍了如何预处理phi函数值，并利用这些值递推计算F(n)。

题目链接

分析：
这道题看的是唐老师的blog
感觉还是一知半解，然而学校里的dalao都去长沙了
只留下我们这些蒟蒻（然而蒟蒻没有dalao的点拨怎么学习啊。。。）

用了将近一小时，终于理解了，尝试着来化简一下：
我们要求的是
这里写图片描述

在化简之前，先提出phi函数的一个性质：
这里写图片描述
我们就从这个式子下手：

得到的是一个类似于递推式的形式
我们预处理出O(sqrt(n))个F(n/i)的值，我们就可以递推出F(n)的值
因为phi函数是一个积性函数，F(n)是积性函数的前缀和，我们可以在线性筛的时候处理出一部分
假设预处理了前k个正整数的F(n)，且k≥sqrt(n)，
当k=O(n^2/3)时可以取到较好的复杂度：
这里写图片描述

具体的：
好像有两种实现方法：分块法 or 记忆化搜索
我在这里用的记忆化搜索，同时还要配合简单的hash：

int hash(ll x)   //简单的hash 
{
    ll t=x%maxn;
    while (h[t]&&h[t]!=x) t=(t+1)%maxn;
    return t;
}

非常简陋的hash，但是竟然管用。。。

tip

空间卡的挺紧，只能开一个ll的数组
注意取%

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<map>
#define ll long long

using namespace std;

const int maxn=1e7+5;
const int N=1e6+5;
const ll p=1000000007;
const ll ni=500000004;
ll h[maxn],n;
int phi[N],tot=0,sshu[N],sum[N],f[maxn];
bool no[N];

void make()
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<N;i++)
    {
        if (!no[i])
        {
            sshu[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=tot&&sshu[j]*i<N;j++)
        {
            no[sshu[j]*i]=1;
            if (i%sshu[j]==0)
            {
                phi[i*sshu[j]]=phi[i]*sshu[j];
                break;
            }
            phi[i*sshu[j]]=phi[i]*phi[sshu[j]];
        }
    }

    for (int i=1;i<N;i++) sum[i]=(sum[i-1]+phi[i])%p;
}

int hash(ll x)   //简单的hash 
{
    ll t=x%maxn;
    while (h[t]&&h[t]!=x) t=(t+1)%maxn;
    return t;
}

ll cal(ll n)
{
    if (n<N) return sum[n];
    ll x=(ll)((n%p)*((n+1)%p))%p*ni%p;    //n(n+1)/2
    ll last;
    int l=hash(n);
    if (h[l]) return f[l];
    for (ll i=2;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        x=x-(last-i+1)*cal(n/i)%p;
    }
    x=(x%p+p)%p;
    h[l]=n; f[l]=x;
    return x;
}

int main()
{
    make();
    scanf("%lld",&n);
    if (n<N) 
    {
        printf("%lld",(ll)sum[n]);
        return 0;
    }
    printf("%lld\n",cal(n));
    return 0;
}