13、特殊魏尔斯特拉斯曲线上的快速配对计算

特殊魏尔斯特拉斯曲线上的快速配对计算

1. 椭圆曲线与坐标转换

在椭圆曲线的研究中，对于曲线 (y^2 = x^3 + c^2)（即 (a = 0) 的情况），相关公式会变得更简单。不过，为避免在加倍公式中涉及 (c) 的域运算带来的计算劣势，我们更倾向于使用曲线 (y^2 = cx^3 + 1)，它与魏尔斯特拉斯曲线 (v^2 = u^3 + c^2) 在 (F_q) 上同构，同构映射 (\sigma: (x, y) \to (u, v) = (cx, cy))，其逆映射 (\sigma^{-1} : (u, v) \to (x, y) = (u/c, v/c))。

在 (y^2 = cx^3 + 1) 曲线上，点加倍和点加法的公式如下：
- 点加倍：( 2 = (x_3, y_3))，其中 (x_3 = x_1(\mu -\mu^2))，(y_3 = (y_1 -1)\mu^3 -1)，且 (\mu = (y_1 + 3)/(2y_1))。
- 点加法：((x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_3, y_3))，其中 (x_3 = c^{-1}\lambda^2 -x_1 -x_2)，(y_3 = \lambda(x_1 -x_3) -y_1)，(\lambda = (y_1 - y_2)/(x_1 - x_2))。点 ((0, 1)) 的阶为 3。

在坐标方面，虽然低次函数的求值通常需要较少的域运算，但在仿射坐标下，原始的点加倍公式似乎更具优势。然而，为避免代价高昂的求逆运算，我们最终还是要切换到齐次投影坐标或雅可比坐标。

2. T