25、扭曲爱德华兹形式椭圆曲线上的配对计算

扭曲爱德华兹形式椭圆曲线上的配对计算

1. 引言

在某些场景中，避免实现求逆例程的能力非常有用。基于此，我们考虑开发一种直接在扭曲爱德华兹形式上工作的配对算法，其主要任务是在每次迭代中计算米勒函数。

2. 扭曲爱德华兹形式曲线的米勒函数

设 (F_q) 是特征不等于 2 的域，(ax^2 + y^2 = 1 + dx^2y^2) 是扭曲爱德华兹形式曲线，其中 (a) 和 (d) 是 (F_q) 中不同的非零元素。设 (P_0 = (0, 1))，(P_1 = (x_1, y_1)) 和 (P_2 = (x_2, y_2)) 是曲线上的两个点，(P_3 = (x_3, y_3)) 是 (P_1) 和 (P_2) 的和。则满足 (div(h) = (P_1) + (P_2) - (P_3) - (P_0)) 的米勒函数 (h(x, y)) 为：
[h(x, y) = \frac{(1 - y_3)}{x(y - y_3)((1 + y) - x(\lambda(1 + y) + \theta(1 - y)))}]
其中 (A = \frac{2(a + d)}{a - d})，(B = \frac{4}{a - d})，且
[\lambda =
\begin{cases}
\frac{x_1(A(y_1^2 - 1) - 2(1 + y_1 + y_1^2))}{B(y_1^2 - 1)} & \text{如果 } P_1 = P_2 \
\frac{x_1(y_1 - 1)(y_2 + 1) - x_2(y_1 + 1)(y_2 - 1)}{2x_1x_2(y_1 - y_2)} & \text{如果