26、MATLAB在微分方程求解与高级绘图中的应用

MATLAB在微分方程求解与高级绘图中的应用

1. 微分方程求解

在处理微分方程时，MATLAB提供了两种不同的方法：数值方法和符号方法。

1.1 数值方法

使用数值方法求解微分方程时，需要创建一个定义微分方程的函数，然后将该函数传递给MATLAB以获得结果。以下是使用数值方法求解微分方程的具体步骤：
1. 定义微分方程函数 ：

Func = @(T, Y) cos(T*Y);

此步骤创建了一个临时函数 Func ，该函数接受时间 T 和变量 Y 作为输入。虽然很多资料建议将方程放在单独的函数文件中，但这里创建临时函数同样可行。
2. 求解微分方程 ：

[TPrime, YPrime] = ode23(Func, [-10, 10], .2);

ode23() 函数需要一个函数作为输入（这里是 Func ），也可以提供包含该函数的文件名称。第二个参数是一个向量，包含计算的起始和结束时间；第三个参数是计算的起始输入值。 TPrime 输出是一个包含计算所用时间段的向量， YPrime 输出是一个向量或矩阵，包含每个时间段的输出值。
3. 绘制结果 ：

plot(TPrime, YPrime);

执行此命令后，会显示绘制的结果。

1.2 符号方法

符号方法依赖于符号数学工具箱的功能，使求解过程更快捷、更简单。使用符号方法时，主要依靠 dsolve() 函数。以下是使用符号方法求解微分方程并绘制结果的步骤：
1. 求解微分方程 ：

Solution = dsolve('Dy=(t^2*y)/y', 'y(2)=1', 't');

dsolve() 函数的参数包括要求解的方程、 y 的起始点（条件）和自变量的名称。执行此命令后，会得到方程的解。
2. 替换变量值 ：

Values = subs(Solution, 't', -10:.1:10);

subs() 函数用于逐个替换 t 的值，这里 t 的值从 -10 到 10，步长为 0.1。执行完此命令后， Values 包含了提供的值的结果列表，可作为绘图点。
3. 绘制结果 ：

plot(Values);

执行此命令后，会显示绘制的结果。

2. 超级绘图

绘图有助于人们理解数据，MATLAB提供了出色的绘图功能。超级绘图是在普通绘图的基础上添加更多特色，以更清晰地传达抽象概念。

2.1 超级绘图的定义

超级绘图实际上就是普通绘图，但具有更多特色。通过添加强调某些元素或使特定概念更清晰的功能，将抽象的想法转化为具体的内容，让他人更容易理解。不过，在使用绘图功能时，要避免过度使用特效，以免分散观众注意力。以下是一些避免绘图过于复杂的建议：
- 避免在单个绘图中使用过多额外元素，只使用那些真正能增强数据可理解性的元素。
- 在多个绘图中保持一致的外观，避免绘图过于分散注意力。
- 必要时依靠标签和其他图形元素（如文本框）来解释数据。
- 尽可能在相关绘图中使用相同的旋转（相同的视角）。
- 仅在特殊版本的绘图能以标准绘图无法实现的方式传达信息时创建特殊绘图。
- 谨慎使用动画来展示数值序列或从各个角度查看问题，避免将动画用作特效。
- 在添加强调之前，为每个绘图定义强调目标，以便专注于需要调整的区域。
- 在实际创建绘图之前制定呈现信息的策略，确保有清晰的计划。

2.2 绘图额外元素的使用

MATLAB提供了一些可以增强绘图外观的额外元素。

2.2.1 使用 grid() 函数

grid() 函数可帮助有效使用绘图中的网格，其相关函数如下：
- grid('on') ：打开网格，使其显示在当前图形中。
- grid('off') ：关闭网格，使其在当前图形中不可见。
- grid() ：切换网格的开和关。
- grid('minor') ：切换次要网格刻度的开和关。

2.2.2 使用 gca 获取当前轴

许多用于增强绘图外观的函数需要访问当前轴。创建绘图时，通常只有绘图本身的句柄。要获取轴句柄，可以执行以下命令：

Bar1Axis = gca;

执行此命令后， Bar1Axis 中就有了轴句柄。

2.2.3 使用 datetick() 创建轴日期

datetick() 函数用于向绘图轴添加日期。使用该函数时，轴上的数字需要在所需日期的范围内。以下是创建包含日期的绘图的步骤：
1. 创建x轴数据源 ：

XSource = linspace(datenum('09/15/2014'), datenum('09/19/2014'), 5);

此命令创建了一个包含从 2014 年 9 月 15 日到 2014 年 9 月 19 日日期的向量。
2. 创建y轴数据源 ：

YSource = [1, 5, 9, 4, 3];

3. 创建绘图 ：

Bar1 = bar(XSource, YSource);

4. 设置刻度间距 ：

set(gca, 'XTick', linspace(datenum('09/15/2014'), datenum('09/19/2014'), 5));

5. 将x轴标签转换为日期 ：

datetick('x', 'dd mmm yy', 'keeplimits', 'keepticks');

datetick() 函数的参数包括轴（如 x 、 y 或 z 轴）、日期格式、 'keeplimits' （防止MATLAB在轴的两端添加条目）和 'keepticks' （防止MATLAB更改刻度值）。日期格式可以使用字符串或数字来指定，具体如下表所示：

表1：用于创建日期格式的字符串
| String | Purpose | Example |
| ---- | ---- | ---- |
| yyyy | 四位数年份 | 2014 |
| yy | 两位数年份 | 14 |
| QQ | 用字母Q和一位数字表示的季度 | Q1 |
| mmmm | 完整月份名称 | September |
| mmm | 三位字母的月份名称 | Sep |
| mm | 两位数月份 | 09 |
| m | 一位字母的月份名称 | S |
| dddd | 完整星期几名称 | Monday |
| ddd | 三位字母的星期几名称 | Mon |
| dd | 两位数日期 | 15 |
| d | 一位字母的日期名称 | M |
| HH | 两位数小时 | 08（无AM/PM时），8 AM（有AM/PM时） |
| MM | 两位数分钟 | 00 |
| SS | 两位数秒 | 00 |
| FFF | 三位数毫秒 | 000 |
| AM or PM | 使用AM或PM而非24小时制 | 8:00:00 AM |

表2：标准化日期的数字选择
| Number | String Format Equivalent | Example |
| ---- | ---- | ---- |
| -1 (default) | ‘dd-mmm-yyyy HH:MM:SS’ 或 ‘dd-mmm-yyyy’（午夜无时间输出） | 15-Sep-2014 08:00:00 或 15-Sep-2014 |
| 0 | ‘dd-mmm-yyyy HH:MM:SS’ | 15-Sep-2014 08:00:00 |
| 1 | ‘dd-mmm-yyyy’ | 15-Sep-2014 |
| 2 | ‘mm/dd/yy’ | 09/15/14 |
| 3 | ‘mmm’ | Sep |
| 4 | ‘m’ | S |
| 5 | ‘mm’ | 09 |
| 6 | ‘mm/dd’ | 09/15 |
| 7 | ‘dd’ | 15 |
| 8 | ‘ddd’ | Mon |
| 9 | ‘d’ | M |
| 10 | ‘yyyy’ | 2014 |
| 11 | ‘yy’ | 14 |
| 12 | ‘mmmyy’ | Sep14 |
| 13 | ‘HH:MM:SS’ | 08:00:00 |
| 14 | ‘HH:MM:SS PM’ | 8:00:00 PM |
| 15 | ‘HH:MM’ | 08:00 |
| 16 | ‘HH:MM PM’ | 8:00 PM |
| 17 | ‘QQ-YY’ | Q3-14 |
| 18 | ‘QQ’ | Q3 |
| 19 | ‘dd/mm’ | 15/09 |
| 20 | ‘dd/mm/yy’ | 15/09/14 |
| 21 | ‘mmm.dd,yyyy HH:MM:SS’ | Sep.15,2014 08:00:00 |
| 22 | ‘mmm.dd,yyyy’ | Sep.15,2014 |
| 23 | ‘mm/dd/yyyy’ | 09/15/2014 |
| 24 | ‘dd/mm/yyyy’ | 15/09/2014 |
| 25 | ‘yy/mm/dd’ | 14/09/15 |
| 26 | ‘yyyy/mm/dd’ | 2014/09/15 |
| 27 | ‘QQ-YYYY’ | Q3-2014 |
| 28 | ‘mmmyyyy’ | Sep2014 |
| 29 | ‘yyyy-mm-dd’ (ISO 8601) | 2014-09-15 |
| 30 | ‘yyyymmddTHHMMSS’ (ISO 8601) | 20140915T080000 |
| 31 | ‘yyyy-mm-dd HH:MM:SS’ | 2014-09-15 08:00:00 |

2.3 使用 colorbar() 创建绘图

使用颜色条可以帮助人们根据颜色而不是纯数值来查看数据值。以下是使用 colorbar() 函数创建颜色条并在条形图中定义值的步骤：
1. 创建数据源 ：

YSource = [4, 2, 5, 6; 1, 2, 4, 3];

2. 创建三维条形图 ：

Bar1 = bar3(YSource);

3. 添加颜色条 ：

CB1 = colorbar('EastOutside');

此步骤在绘图的右侧添加了一个颜色条。
4. 设置条形颜色 ：

for Element = 1:length(Bar1)
    ZData = get(Bar1(Element),'ZData');
    set(Bar1(Element), 'CData', ZData,...
        'FaceColor', 'interp')
end

执行此代码后，条形根据其值进行了着色，颜色条的刻度也与条形图的刻度匹配。
5. 设置颜色条标签 ：

set(CB1, 'YTickLabel', {'', 'Awful', 'OK', 'Better', 'Average', 'Great!', 'BEST'});

执行此命令后，图表为每个颜色级别分配了含义。

通过以上方法，我们可以在MATLAB中有效地求解微分方程，并创建具有更多特色的超级绘图，从而更好地理解和展示数据。

MATLAB在微分方程求解与高级绘图中的应用

3. 高级绘图类型

除了上述介绍的绘图额外元素，MATLAB还提供了多种高级绘图类型，这些绘图类型能够以独特的方式展示数据，帮助我们更深入地理解数据特征和关系。

3.1 极坐标图

极坐标图使用极坐标系统来表示数据，对于展示具有周期性或角度相关的数据非常有用。以下是创建极坐标图的示例代码：

theta = linspace(0, 2*pi, 100); % 生成角度数据
r = sin(2*theta); % 生成半径数据
polarplot(theta, r); % 绘制极坐标图

在这个示例中，我们首先使用 linspace 函数生成从 0 到 2π 的 100 个角度值，然后根据这些角度计算对应的半径值。最后，使用 polarplot 函数绘制极坐标图。

3.2 散点图矩阵

散点图矩阵用于展示多个变量之间的两两关系。它将多个散点图组合在一起，形成一个矩阵，每个子图表示两个变量之间的关系。以下是创建散点图矩阵的示例代码：

load fisheriris % 加载鸢尾花数据集
meas = meas(:,1:4); % 选择前四个特征
gscatter(meas(:,1), meas(:,2), species); % 绘制散点图矩阵

在这个示例中，我们加载了鸢尾花数据集，并选择了前四个特征。然后，使用 gscatter 函数根据不同的物种绘制散点图矩阵，这样可以直观地看到不同特征之间的关系以及不同物种在特征空间中的分布情况。

3.3 等高线图

等高线图用于展示二维函数的等值线，它可以帮助我们理解函数在二维平面上的变化情况。以下是创建等高线图的示例代码：

[X,Y] = meshgrid(-2:0.1:2); % 生成网格数据
Z = X.^2 + Y.^2; % 计算函数值
contour(X,Y,Z); % 绘制等高线图

在这个示例中，我们首先使用 meshgrid 函数生成二维网格数据，然后根据网格数据计算函数值。最后，使用 contour 函数绘制等高线图，图中的每条等高线表示函数值相等的点的集合。

4. 动画绘图

动画绘图可以动态地展示数据的变化过程，帮助我们从多个角度观察问题。MATLAB提供了多种方法来创建动画，以下是一个简单的动画绘图示例：

figure; % 创建新的图形窗口
x = linspace(0, 2*pi, 100); % 生成 x 轴数据
for t = 0:0.1:10
    y = sin(x - t); % 计算 y 轴数据
    plot(x, y); % 绘制图形
    axis([0 2*pi -1 1]); % 设置坐标轴范围
    drawnow; % 更新图形
end

在这个示例中，我们首先创建了一个新的图形窗口，并生成了 x 轴数据。然后，使用 for 循环不断更新 y 轴数据，并绘制图形。每次绘制后，使用 drawnow 函数更新图形，从而实现动画效果。

5. 总结与建议

通过本文的介绍，我们了解了MATLAB在微分方程求解和高级绘图方面的强大功能。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法和绘图类型。

• 在微分方程求解方面，数值方法适用于大多数情况，能够快速得到近似解；符号方法则更适合求解具有解析解的方程，能够得到精确的表达式。
• 在绘图方面，超级绘图可以通过添加额外元素和使用高级绘图类型来增强数据的可视化效果，但要注意避免过度使用特效，确保绘图能够清晰地传达信息。
• 在使用动画绘图时，要合理设置动画的参数，如帧率、持续时间等，以达到最佳的展示效果。

以下是一个简单的流程图，展示了选择微分方程求解方法和绘图类型的基本思路：

graph TD;
    A[问题类型] --> B{是否为微分方程问题};
    B -- 是 --> C{是否有解析解};
    C -- 是 --> D[符号方法求解];
    C -- 否 --> E[数值方法求解];
    B -- 否 --> F{数据可视化需求};
    F --> G{简单数据展示};
    G -- 是 --> H[普通绘图];
    G -- 否 --> I{需要强调特定信息};
    I -- 是 --> J[超级绘图（添加额外元素）];
    I -- 否 --> K{需要动态展示};
    K -- 是 --> L[动画绘图];
    K -- 否 --> M[高级绘图类型（极坐标图、散点图矩阵等）];

总之，MATLAB为我们提供了丰富的工具和方法，通过合理运用这些工具，我们可以更高效地解决问题，更直观地展示数据。希望本文的内容能够对大家在MATLAB的学习和应用中有所帮助。