3、有限域与椭圆曲线：原理、运算及Python实现

有限域与椭圆曲线：原理、运算及Python实现

1. 模运算基础

模运算在很多场景中都有应用，比如时钟问题。在时钟里，时间的计算就是一种模运算。例如，现在是3点，16个小时之前是几点？答案是11点，计算方式为 (3 – 16) % 12 = 11 。

分针的转动同样涉及模运算。若当前是某小时过了12分钟，843分钟后是几分呢？答案是15分，计算为 (12 + 843) % 60 = 15 。若当前是某小时过了23分钟，97分钟后是几分，答案是0分，即 (23 + 97) % 60 = 0 ，这里的0表示没有余数。

模运算对于分钟的结果总是在0到59之间（包含0和59），这一特性非常有用，因为它能将很大的数缩小到一个相对小的范围，如 14738495684013 % 60 = 33 。

在Python中，使用 % 运算符进行模运算，示例如下：

print(7 % 3)  # 输出1
print(-27 % 13)  # 输出12

2. 有限域的加法与减法

2.1 有限域加法的定义

为确保有限域加法的结果仍在集合内，即保证加法运算的封闭性，我们使用模运算来定义有限域加法。

假设有一个有限域F19 = {0, 1, 2, … 18}，其中a, b ∈ F19（符号 ∈ 表示“是……的元素”）。我们用 +f