3、椭圆曲线基础理论：从整数倍点到关联定理证明

椭圆曲线基础理论：从整数倍点到关联定理证明

1. 整数倍点计算与离散对数问题

在椭圆曲线的研究中，整数倍点的计算是一个基础且重要的操作。给定一个正整数 (k) 和椭圆曲线上的一个点 (P)，可以通过连续加倍的方法来计算 (kP)。具体步骤如下：
1. 初始化：令 (a = k)，(B = \infty)，(C = P)。
2. 若 (a) 为偶数：则 (a = a/2)，(B = B)，(C = 2C)。
3. 若 (a) 为奇数：则 (a = a - 1)，(B = B + C)，(C = C)。
4. 若 (a \neq 0)，返回步骤 2。
5. 输出 (B)，此时 (B) 即为 (kP)。

然而，在有限域上，如果已知点 (P) 和 (kP)，要确定 (k) 的值却非常困难，这就是椭圆曲线的离散对数问题，它是许多密码学应用的基础。

2. 射影空间与无穷远点

2.1 二维射影空间的定义

设 (K) 为一个域，二维射影空间 (P^2_K) 由三元组 ((x, y, z)) 的等价类构成，其中 (x, y, z \in K) 且至少有一个非零。两个三元组 ((x_1, y_1, z_1)) 和 ((x_2, y_2, z_2)) 等价，当且仅当存在非零元素 (\lambda \in K) 使得 ((x_1, y_1, z_1) = (\lambda x_2, \lambda y_2, \lambda z_2))，记为 ((x_1, y_1, z_1) \sim (x_2, y_2, z_2))。等价类 ((x, y, z)) 记为 ((x : y : z))。