34、椭圆曲线、ζ函数与费马大定理的奇妙之旅

椭圆曲线、ζ函数与费马大定理的奇妙之旅

1. 椭圆曲线与数域的类比

在数学的奇妙世界里，椭圆曲线和数域之间存在着有趣的类比关系。当椭圆曲线的秩(r = 1)，以(P)为生成元时，有如下预测公式：
(L_E(s) = (s - 1)\frac{\Omega}{\prod_{p} c_p}\frac{(#E) \hat{h}(P)}{#E(\mathbb{Q}) {\text{torsion}}^2} + \cdots)
这里，(\Omega)类似于(\frac{4}{\sqrt{d}})，(#E(\mathbb{Q}) {\text{torsion}})的作用类似于(2)，也就是数域(K)中单位根的数量。高度(\hat{h}(P))表示(P)的大小，类似地，(\log(\eta))表示(\eta)的大小。

下面是椭圆曲线和数域之间的类比字典：
| 椭圆曲线 | 数域 |
| ---- | ---- |
| 点 | 单位 |
| 挠点 | 单位根 |
| 沙法列维奇 - 泰特群 | 理想类群 |

这个类比虽然不是完全精确，但有助于我们用一个领域的结果去解释另一个领域的现象。例如，代数数论中的狄利克雷单位定理描述了数域中的单位群，它类似于描述椭圆曲线上有理点群的莫德尔 - 韦伊定理。代数数论中理想类群的有限性类似于沙法列维奇 - 泰特群有限性的猜想。

2. 相关练习解析

这里有一些相关的练习，帮助我们更好地理解这些概念。
- 练习 14.1 ：
- (a)部分