19、椭圆与超椭圆曲线密码学：原理、计算与优化

椭圆与超椭圆曲线密码学：原理、计算与优化

1. 椭圆与超椭圆曲线基础

椭圆曲线的标准方程为 $Y^2 = X^3 + aX + b$，其中非奇异条件要求三次多项式 $X^3 + aX + b$ 有不同的根。超椭圆曲线是一种特殊的非奇异射影曲线，在域 $k$ 上，亏格 $g \geq 1$ 的超椭圆曲线是满足方程 $y^2 + h(X)Y = f(X)$ 的点 $(X,Y) \in k^2$ 的集合，这里 $h$ 和 $f$ 是 $k[X]$ 中的多项式，且 $\text{deg}(f) = 2g + 1$，$\text{deg}(h) \leq g$，同时还包含一个“无穷远点” $P_{\infty}$。椭圆曲线实际上就是亏格为 1 的超椭圆曲线。

之所以存在无穷远点，是因为椭圆或超椭圆曲线的定义中包含“射影”一词。我们将曲线置于射影空间中，例如坐标为 $(X : Y : Z)$ 的空间。无穷远点是通过将曲线方程齐次化后得到的射影曲线与直线 $Z = 0$ 的唯一交点。如果读者没有射影几何的背景知识，可以简单地将 $P_{\infty}$ 看作是 $Y$ 轴上无限远的点，它使曲线“紧致化”。

2. 曲线的雅可比群

对于域 $k$ 上的超椭圆曲线，它原本是 $k^2$ 中的点集加上一个无穷远点。代数几何学家很早就发现，每条曲线都可以关联一个群。这些群由曲线上的点集组成，并且群运算仅需在域 $k$ 中进行操作。对于椭圆曲线，该群由椭圆曲线上的点构成，群运算可以从几何角度进行理解；对于超椭圆曲线，群由曲线上的 $g$ 元点组构成。一般来说，这两种曲线的离散对数问题（DLP）都很难求解。

与超椭圆曲线 $C$ 关联的群是一个更大的群（称为 $C