4、滤波器组相关变换与多相矩阵解析

滤波器组相关变换与多相矩阵解析

1. 离散傅里叶变换（DFT）的分析与合成

在信号处理中，DFT 是一种重要的变换。对于 DFT 的分析变换，其 z 变换现在是向量与 z 的幂次相乘的和，并且在 z 域中，该变换仍然是一个简单的矩阵乘法。

我们可以提取变换的等效冲激响应。对于第 k 个子带，有：
[y_k(m) = \sum_{n=0}^{N - 1} x(mN + n) \cdot e^{-j \frac{2\pi}{N} \cdot n \cdot k} = \sum_{n=0}^{N - 1} x(mN + N - 1 - n) \cdot e^{-j \frac{2\pi}{N} \cdot (N - 1 - n) \cdot k}]
这里使用了求和顺序的反转，即 (n \to N - 1 - n)。与相关公式比较可知，该变换的等效冲激响应是变换矩阵的第 k 列的时间反转，即：
[h_k(n) = e^{-j \frac{2\pi}{N} \cdot (N - 1 - n) \cdot k}]
这就是 DFT 作为分析滤波器组的等效分析冲激响应。也就是说，变换矩阵 (T) 的每一列代表一个子带滤波器的冲激响应，但顺序是反转的。

对于 DFT 的合成变换，每个块有：
[\hat{x}(m) = x(m) = y(m) \cdot T^{-1}]
对于单个样本，使用逆 DFT 变换矩阵可得：
[\hat{x}(mN + n) = \sum_{k=0}^{N - 1} y_k(m) \cdot \frac{1}{N} \cdot e^{j \frac{2\pi}{N} \cdot n \cdot k}]