19、自适应滤波器算法及变换域自适应滤波器解析

自适应滤波器算法及变换域自适应滤波器解析

1. LMS 算法收敛特性

LMS（Least Mean Square）算法应用于直接形式 FIR（Finite Impulse Response）滤波器结构时，其收敛行为由输入过程的自相关矩阵 $R_x$ 控制，自相关矩阵 $R_x$ 通常是正定的，这是保证收敛到维纳解的必要条件之一。另一个收敛的必要条件是 $0 < \mu < 1/\lambda_{max}$，其中 $\lambda_{max}$ 是 $R_x$ 的最大特征值。

该算法的收敛性与 $R_x$ 的特征值扩展直接相关，特征值扩展由 $R_x$ 的条件数衡量，定义为 $\kappa = \lambda_{max}/\lambda_{min}$，其中 $\lambda_{min}$ 是 $R_x$ 的最小特征值。当 $\kappa = 1$（白噪声情况）时为理想条件，随着该比值增大，收敛速度变慢。特征值扩展（条件数）取决于输入信号的频谱分布，并与输入功率谱的最大值和最小值相关。由此可知，白噪声是快速训练 LMS 自适应滤波器的理想输入信号，对于有色输入信号，自适应过程较慢且需要更多计算。

1.1 LMS 算法收敛条件总结

条件	描述
自相关矩阵性质	$R_x$ 通常为正定矩阵
步长范围	$0 < \mu < 1/\lambda_{max}$